【３】ペラン数列

　フィボナッチ数列では正方形をらせん状に並べましたが，ここでは正三角形をらせん状に並べてみましょう．最初の３つの正三角形は１辺の長さを１，次の２つは１辺の長さが２で，そのあとは３，４，５，７，９，１２，１６，２１，・・・．このようにしてもおおよそ対数らせんを描きます．

　数列

　　１，１，１，２，２，３，４，５，７，９，１２，１６，２１，・・・

は直前の１項を除いたその前の２項を加えたものです．パドヴァンの数列と呼ぶことにしますが，漸化式は

　　Ｐn＝Ｐn-2＋Ｐn-3　　　（Ｐ0＝Ｐ1＝Ｐ2＝１）

で表されます．

　その特性方程式

　　ｘ^3−ｘ−１＝０

の唯一の実数解より，パドヴァン数列の連続する２項の比は

　　ｐ＝１／３｛3√（２７／２−３√６９／２）＋3√（１／２＋√６９／１８）｝＝１．３２４７１８・・・

に次第に近づくことになります．ｐがφよりも小さいことより，パドヴァン数列はフィボナッチ数列に較べてゆっくりと増加することになります．

　　ｐ^5−ｐ^3−ｐ^2＝０

　　ｐ^4−ｐ^2−ｐ^1＝０

より

　　ｐ^5−ｐ^4−ｐ^3−ｐ^1＝ｐ^5−ｐ^4−１

ですから，３次方程式ｐ^3−ｐ−１＝０の解はこの５次方程式も満たすことがわかります．あるいは，因数分解

　　ｐ^5−ｐ^4−１＝（ｐ^3−ｐ−１）（ｐ^2−ｐ＋１）

でもよいのですが，このことから

　　Ｐn＝Ｐn-1＋Ｐn-5

の関係が成り立つこともわかります．

　リュカはパドヴァン数列と同じ生成規則に従い，最初の項の値が異なるものを考案しました（１８７６年）．

　　Ａn＝Ａn-2＋Ａn-3　　　（Ａ0＝３，Ａ1＝０，Ａ2＝２）

　　３，０，２，３，２，５，５，７，１０，１２，１７，２２，２９，・・・

　この数列は現在ではペラン数列と呼ばれるものです．この数列の項比もｐに近づきますが，さらに深遠な性質「ｎが素数のときＡnはｎで割り切れる」をもっています．しかし，逆命題「Ａnがｎで割り切れるときｎは素数である」は必ずしも成り立たないことが知られています．ただし，その最小の反例は数万の大きさなので，コンピュータでも使わなければ反証できません．

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