■フィボナッチ数列とトリボナッチ数列(その7)

【1】kフィボナッチ数列の超黄金比

 パスカルの三角形の斜めの項を足すと数列

  1,1,2,3,5,8,・・・

が現れます.初項1,第2項1から始まり,隣り合う2項の和が次の項となるこの数列をフィボナッチ数列とよびます.

 その一般項Fn は

  Fn=Fn-1+Fn-2

です.この数列にフィボナッチ(13世紀のイタリアの数学者でピサのレオナルドとしても知られる)の名を冠したのはフランスの数学者リュカで,ハノイの塔の名で知られる2進法のパズルも1883年にリュカによって考案されたものです.

 初項2,第2項1のフィボナッチ数列

  2,1,3,4,7,11,18,・・・

は彼にちなんでリュカ数列と呼ばれています(1877年).

  Ln=Ln-1+Ln-2

 リュカはフィボナッチ数列,リュカ数列を用いてメルセンヌ数(2^n−1)が素数であるかどうかを判定し,(2^127−1)が素数であることを示しています(1876年).この数は12番目のメルセンヌ素数で,1952年の13番目(2^521−1)からはコンピュータによる発見ですから,コンピュータを使わずに見つけられた最大のメルセンヌ素数になっていて,わかっている最大の素数として最長不倒記録を保ち続けました.

 フィボナッチ数列やリュカ数列の一般項は,3項漸化式:

  Fn=Fn-1+Fn-2

  Ln=Ln-1+Ln-2

の特性方程式

  x^2−x−1=0

の2つの解より,連続する2項の比は黄金比

  φ=(1+√5)/2=1.618034・・・

に次第に近づくことになります.

 黄金長方形から正方形を取り除くと一回り小さな黄金長方形が現れてきます.このことを繰り返し行えば対数らせんが現れますが,この曲線は自然界ではオーム貝などの形にみられ,自己相似的な成長過程を表す理想的な曲線とされています.サイクロイドの伸開線はそれと合同なサイクロイドですが,対数らせんの伸開線もそれと合同な対数らせんになります.

 今度は逆に1辺の長さがフィボナッチ数列の正方形をらせん状に加えていきます.最初の2つの正方形は1辺の長さが1で,そこに1辺の長さが2の正方形,引き続いて1辺の長さが3,5,8,13,21,・・・.すると,優美な対数らせんが現れてきますが,このらせんはほぼ黄金比で外に広がることになります.

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