【１】ｋフィボナッチ数列の超黄金比

　パスカルの三角形の斜めの項を足すと数列

　　１，１，２，３，５，８，・・・

が現れます．初項１，第２項１から始まり，隣り合う２項の和が次の項となるこの数列をフィボナッチ数列とよびます．

　その一般項Ｆn は

　　Ｆn＝Ｆn-1＋Ｆn-2

です．この数列にフィボナッチ（１３世紀のイタリアの数学者でピサのレオナルドとしても知られる）の名を冠したのはフランスの数学者リュカで，ハノイの塔の名で知られる２進法のパズルも１８８３年にリュカによって考案されたものです．

　初項２，第２項１のフィボナッチ数列

　　２，１，３，４，７，１１，１８，・・・

は彼にちなんでリュカ数列と呼ばれています（１８７７年）．

　　Ｌn＝Ｌn-1＋Ｌn-2

　リュカはフィボナッチ数列，リュカ数列を用いてメルセンヌ数（２^n−１）が素数であるかどうかを判定し，（２^127−１）が素数であることを示しています（１８７６年）．この数は１２番目のメルセンヌ素数で，１９５２年の１３番目（２^521−１）からはコンピュータによる発見ですから，コンピュータを使わずに見つけられた最大のメルセンヌ素数になっていて，わかっている最大の素数として最長不倒記録を保ち続けました．

　フィボナッチ数列やリュカ数列の一般項は，３項漸化式：

　　Ｆn＝Ｆn-1＋Ｆn-2

　　Ｌn＝Ｌn-1＋Ｌn-2

の特性方程式

　　ｘ^2−ｘ−１＝０

の２つの解より，連続する２項の比は黄金比

　　φ＝（１＋√５）／２＝１．６１８０３４・・・

に次第に近づくことになります．

　黄金長方形から正方形を取り除くと一回り小さな黄金長方形が現れてきます．このことを繰り返し行えば対数らせんが現れますが，この曲線は自然界ではオーム貝などの形にみられ，自己相似的な成長過程を表す理想的な曲線とされています．サイクロイドの伸開線はそれと合同なサイクロイドですが，対数らせんの伸開線もそれと合同な対数らせんになります．

　今度は逆に１辺の長さがフィボナッチ数列の正方形をらせん状に加えていきます．最初の２つの正方形は１辺の長さが１で，そこに１辺の長さが２の正方形，引き続いて１辺の長さが３，５，８，１３，２１，・・・．すると，優美な対数らせんが現れてきますが，このらせんはほぼ黄金比で外に広がることになります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝