シュレーフリの公式、基本単体はquadrirectangular tetrahedronを考察しているのに対して…

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【１】ファウルハーバーの定理

　辺（ｐ，ｑ，ｒ）が１点において直交する四面体trirectangular tetrahedronにおいて，３つの面の面積をＡ，Ｂ，Ｃ，斜面の面積をＤとすると

　　Ａ^2＋Ｂ^2＋Ｃ^2＝Ｄ^2

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［１］体積は

　　Ｖ＝ｐｑｒ／６

　　Ｖ^2＝ｐ^2ｑ^2ｒ^2／３６

［２］体積をＡ，Ｂ，Ｃで表すには

　　ｑｒ／２＝Ａ

　　ｒｐ／２＝Ｂ

　　ｐｑ／２＝Ｃ

→ｐ^2ｑ^2ｒ^2／８＝ＡＢＣであるから，Ｖ^2＝２ＡＢＣ／９

［３］体積をａ，ｂ，ｃで表すには

　　ａ^2＝ｑ^2＋ｒ^2

　　ｂ^2＝ｒ^2＋ｐ^2

　　ｃ^2＝ｐ^2＋ｒ^2

　ヘロンの公式にならって

　　Ｓ^2＝（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）／２とおくと

　　ｐ^2＝Ｓ^2−ａ^2，ｑ^2＝Ｓ^2−ｂ^2，ｒ^2＝Ｓ^2−ｃ^2

　　Ｖ^2＝ｐ^2ｑ^2ｒ^2／３６＝（Ｓ^2−ａ^2）（Ｓ^2−ｂ^2）（Ｓ^2−ｃ^2）／３６

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