■サマーヴィルの公式と三角錐(その18)

シュレーフリの公式、基本単体はquadrirectangular tetrahedronを考察しているのに対して…

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【1】ファウルハーバーの定理

 辺(p,q,r)が1点において直交する四面体trirectangular tetrahedronにおいて,3つの面の面積をA,B,C,斜面の面積をDとすると

  A^2+B^2+C^2=D^2

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[1]体積は

  V=pqr/6

  V^2=p^2q^2r^2/36

[2]体積をA,B,Cで表すには

  qr/2=A

  rp/2=B

  pq/2=C

→p^2q^2r^2/8=ABCであるから,V^2=2ABC/9

[3]体積をa,b,cで表すには

  a^2=q^2+r^2

  b^2=r^2+p^2

  c^2=p^2+r^2

 ヘロンの公式にならって

  S^2=(a^2+b^2+c^2)/2とおくと

  p^2=S^2−a^2,q^2=S^2−b^2,r^2=S^2−c^2

  V^2=p^2q^2r^2/36=(S^2−a^2)(S^2−b^2)(S^2−c^2)/36

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