シュレーフリの公式は，四面体の各面の面積をＡ，二面角のコサインをｃとすると，

　　Ａ1＝ｃ12Ａ2＋ｃ13Ａ3＋ｃ14Ａ4

　　Ａ2＝ｃ21Ａ1＋ｃ23Ａ3＋ｃ24Ａ4

　　Ａ3＝ｃ31Ａ1＋ｃ32Ａ2＋ｃ34Ａ4

　　Ａ4＝ｃ41Ａ1＋ｃ42Ａ2＋ｃ43Ａ3

なのであるが，これがシュレーフリの公式の各行となる．

　|　１,-ｃ12,-ｃ13,-ｃ14｜

　|　-ｃ21,１,-ｃ23,-ｃ24｜＝０・・・ユークリッド単体

　|　-ｃ31,-ｃ32,１,-ｃ34｜

　|　-ｃ41,-ｃ42,-ｃ43,１｜

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したがって、基本単体quadrirectangular tetrahedronを考えるならば、

　|　１,-cosα,０,０｜

　|　-cosα,１,-cosβ,０｜

　|　０,-cosβ,１,-cosγ｜

　|　０,０,-cosγ,１｜

=(cosα)^2(cosγ)^2-(cosα)^2-(cosβ)^2-(cosγ)^2+1

=(sinα)^2(sinγ)^2-(cosβ)^2=G>0・・・球面単体

球面単体

シュレーフリは、微分関係式

df(α、β、γ)=(4/π^2)adα

df(α、β、γ)=(4/π^2)（adα+bdβ+cdγ)

一般に

dV=(4/π^2)Σ(ldλ)

を示した

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cosa=sinαcosγ/{(sinα)^2-(cosβ)}^1/2

cosc=sinγcosα/{(sinγ)^2-(cosα)}^1/2

cosb=cosαcosβcosγ/{(sinα)^2-(cosβ)}^1/2{(sinγ)^2-(cosα)}^1/2

(tana)^2=-G/(sinαcosγ)^2

(tanc)^2=-G/(sinγcosα)^2

(tanb)^2=-G(sinβ)^2cosβ/(cosαcosβcosγ)^2

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a=0,b=0, c=0→ sinαsinγ＝cosβ・・・ユークリッド単体

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