ヘロンの公式の円に内接する四角形版はあるが，五角形版はない．しかしながら，３次元版以上のものは存在する．

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　２８８Ｖ^2＝｜０，ｄ01^2，ｄ02^2，ｄ03^2，１｜

　　　　　　　｜ｄ10^2，０，ｄ12^2，ｄ13^2，１｜

　　　　　　　｜ｄ20^2，ｄ21^2，０，ｄ23^2，１｜

　　　　　　　｜ｄ30^2，ｄ31^2，ｄ32^2，０，１｜

　　　　　　　｜１　　，１　　，１　　，１，０｜

から，Ｐ0を取り除くと

１６Ｓ^2＝｜０，ｄ12^2，ｄ13^2，１｜

　　　　　｜ｄ21^2，０，ｄ23^2，１｜

　　　　　｜ｄ31^2，ｄ32^2，０，１｜

　　　　　｜１　　，１　　，１，０｜

ｈ0＝Ｖ／ｎＳで高さを求めることができる．

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trirectangular tetrahedronの場合

　２８８Ｖ^2＝｜０， a^2， b^2， c^2，１｜

　　　　　　　｜a^2， ０，a^2+b^2，a^2+c^2，１｜

　　　　　　　｜b^2，a^2+b^2， ０，b^2+c^2，１｜

　　　　　　　｜c^2，a^2+c^2，b^2+c^2， ０，１｜

　　　　　　　｜１　　，１　　， １　　， １，０｜

　２８８Ｖ^2＝｜０， a^2， b^2， c^2，１｜

　　　　　　　｜a^2， -a^2， b^2， c^2，１｜

　　　　　　　｜b^2， a^2， -b^2， c^2，１｜

　　　　　　　｜c^2， a^2， b^2， -c^2，１｜

　　　　　　　｜１　　，０　　， ０　　， ０，０｜

　２８８Ｖ^2＝｜０， a^2， b^2， c^2，１｜

　　　　　　　｜a^2， -2a^2， 0^2， 0，０｜

　　　　　　　｜b^2， ０， -2b^2， ０，０｜

　　　　　　　｜c^2， ０， ０， -2c^2，０ ｜

　　　　　　　｜１　　，０　　， ０　　， ０，０｜

　２８８Ｖ^2＝｜a^2， b^2， c^2，１｜

　　　　　　　｜-2a^2， 0^2， 0，０｜

　　　　　　　｜ ０， -2b^2， ０，０｜

　　　　　　　｜ ０， ０， -2c^2，０ ｜

　　　　　　　｜-2a^2， 0^2， 0，０｜

　２８８Ｖ^2＝｜ ０， -2b^2， ０，０｜＝8(abc)^2

　　　　　　　｜ ０， ０， -2c^2，０ ｜

V=(abc)/6

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