■サマーヴィルの公式と三角錐(その14)

 ヘロンの公式は

 2^2(2!)^2S^2=|0,d01^2,d02^2,1|

           |d10^2,0,d12^2,1|

           |d20^2,d21^2,0,1|

           |1  ,  1,1,0|

でよいだろうか?

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  |0, a^2,b^2,1|

  |a^2,0, c^2,1|

  |b^2,c^2,0, 1|

  |1, 1, 1, 0|

を第1行について展開すると

   |a^2,c^2,1|   |a^2,0, 1| |a^2,0, c^2|

−a^2|b^2,0, 1|+b^2|b^2,c^2,1|−|b^2,c^2,0 |

   |1, 1, 0|   |1, 1, 0| |1, 1, 1 |

=−a^2(b^2+c^2−a^2)+b^2(−a^2+b^2−c^2)−a^2c^2−b^2c^2+c^4

=−a^2(b^2+c^2)+b^2(−a^2−c^2)−a^2c^2−b^2c^2+a^4+b^4+c^4

=−2a^2b^2−2b^2c^2−2c^2a^2+a^4+b^4+c^4

=a^4−2a^2(b^2+c^2)+(b^2−c^2)^2

=a^4−2a^2(b^2+c^2)+(b+c)^2(b−c)^2

=(a^2−(b+c)^2)(a^2−(b−c)^2)

=(a+b+c)(a−b−c)(a+b−c)(a−b+c)

=−(a+b+c)(b+c−a)(a+b−c)(a+c−b)

a+b+c=2sとおくと

=2s・2(s−a)・2(s−b)・2(s−c)

=16s(s−a)(s−b)(s−c)

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[まとめ]ヘロンの公式は

 16S^2=|0,d01^2,d02^2,1|

      |d10^2,0,d01^2,1|

      |d20^2,d21^2,0,1|

      |1  ,  1,1,0|

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直角三角形の場合

b^2=a^2+c^2

行列式=a^4−2a^2(b^2+c^2)+(b^2−c^2)^2

=a^4−2a^2(a^2+2c^2)+(a^2)^2

=4a^2c^2

S=ab/2

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