ヘロンの公式は

　２^2（２！）^2Ｓ^2＝｜０，ｄ01^2，ｄ02^2，１｜

　　　　　　　　　　　｜ｄ10^2，０，ｄ12^2，１｜

　　　　　　　　　　　｜ｄ20^2，ｄ21^2，０，１｜

　　　　　　　　　　　｜１　　，　　１，１，０｜

でよいだろうか？

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　　｜０，　ａ^2，ｂ^2，１｜

　　｜ａ^2，０，　ｃ^2，１｜

　　｜ｂ^2，ｃ^2，０，　１｜

　　｜１，　１，　１，　０｜

を第１行について展開すると

　　　｜ａ^2，ｃ^2，１｜　　　｜ａ^2，０，　１｜　｜ａ^2，０，　ｃ^2｜

−ａ^2｜ｂ^2，０，　１｜＋ｂ^2｜ｂ^2，ｃ^2，１｜−｜ｂ^2，ｃ^2，０　｜

　　　｜１，　１，　０｜　　　｜１，　１，　０｜　｜１，　１，　１　｜

＝−ａ^2（ｂ^2＋ｃ^2−ａ^2）＋ｂ^2（−ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2）−ａ^2ｃ^2−ｂ^2ｃ^2＋ｃ^4

＝−ａ^2（ｂ^2＋ｃ^2）＋ｂ^2（−ａ^2−ｃ^2）−ａ^2ｃ^2−ｂ^2ｃ^2＋ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4

＝−２ａ^2ｂ^2−２ｂ^2ｃ^2−２ｃ^2ａ^2＋ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4

＝ａ^4−２ａ^2（ｂ^2＋ｃ^2）＋（ｂ^2−ｃ^2）^2

＝ａ^4−２ａ^2（ｂ^2＋ｃ^2）＋（ｂ＋ｃ）^2（ｂ−ｃ）^2

＝（ａ^2−（ｂ＋ｃ）^2）（ａ^2−（ｂ−ｃ）^2）

＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ−ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）

＝−（ａ＋ｂ＋ｃ）（ｂ＋ｃ−ａ）（ａ＋ｂ−ｃ）（ａ＋ｃ−ｂ）

ａ＋ｂ＋ｃ＝２ｓとおくと

＝２ｓ・２（ｓ−ａ）・２（ｓ−ｂ）・２（ｓ−ｃ）

＝１６ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）

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［まとめ］ヘロンの公式は

　１６Ｓ^2＝｜０，ｄ01^2，ｄ02^2，１｜

　　　　　　｜ｄ10^2，０，ｄ01^2，１｜

　　　　　　｜ｄ20^2，ｄ21^2，０，１｜

　　　　　　｜１　　，　　１，１，０｜

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直角三角形の場合

ｂ^2=ａ^2+ｃ^2

行列式＝ａ^4−２ａ^2（ｂ^2＋ｃ^2）＋（ｂ^2−ｃ^2）^2

＝ａ^4−２ａ^2（ａ^2＋2ｃ^2）＋（ａ^2）^2

＝4ａ^2ｃ^2

S=ab/2

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