■ピックの公式と三角形分割(その37)

 h=nV/S

 Sを各座標軸に射影して,S0,S1,・・・,Snとすれば

  S^2=S0^2+S1^2+・・・+Sn^2

 すなわち,ファウルハーバーの定理=(n+1)平方の定理が成り立つ.各Sjは小行列式の絶対値として計算できる.

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【1】ファウルハーバーの定理の任意の次元nへの一般化

 n+1個のファセットをもつn次元直角錐体において,n個のファセットのn−1次元体積の2乗和は,斜ファセットの体積の2乗に等しい.

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【2】シュレーフリの公式

 シュレーフリの公式は,ファウルハーバーの定理=(n+1)平方の定理としても説明できる.すなわち,基本単体の各面の面積をA,二面角をcとすると,

  A1=c12A2+c13A3+c14A4

  A2=c21A1+c23A3+c24A4

  A3=c31A1+c32A2+c34A4

  A4=c41A1+c42A2+c43A3

なのであるが,これがシュレーフリの公式の各行となる.

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