■ピックの公式と三角形分割(その32)

各辺(a,b,c)と空間対角線dの直方体では

  a^2+b^2+c^2=d^2

が成り立つが,ファウルハーバーは直角三角形の辺の長さの2乗を,直角三角錐の面の面積の2乗に拡張した.ピタゴラスの定理の3次元版である.

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【1】ファウルハーバーの定理(四平方の定理)

 辺(p,q,r)が1点において直交する四面体において,3つの面の面積をa,b,c,斜面の面積をdとすると

  (△ABC)^2=(△OAB)^2+(△OBC)^2+(△OCA)

  a^2+b^2+c^2=d^2

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【2】ファウルハーバーの定理の空間内の任意の平面図形への一般化

 Sの正射影の面積をそれぞれSx,Sy,Szとすると

  Sx^2+Sy^2+Sz^2=S^2

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【3】ファウルハーバーの定理の任意の次元nへの一般化

 n+1個のファセットをもつn次元直角錐体において,n個のファセットのn−1次元体積の2乗和は,斜ファセットの体積の2乗に等しい.

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