【１】カタラン数

　カタラン数

　　｛Ｃn｝＝｛１，２，５，１４，４２，１３２，４２９，１４３０，４８６２，１６７９６，・・・｝

は，凸ｎ角形を対角線で三角形分割する仕方は何通りあるかとか，ｎ対のかみ合い括弧の種類数などいろいろな場面で登場する数なのですが，

　　Ｃn＝2nＣn／（ｎ＋１）＝（２ｎ）！／ｎ！（ｎ＋１）！，

　　Ｃn＝2n+1Ｃn／（２ｎ＋１），

あるいは

　　Ｃn＝2nＣn−2nＣn-1＝１，２，５，１４，４２，・・・

と表されます．

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【２】結合多面体Kn-2

　ｎ個の文字列に括弧をつける1/n(2n-2,n-1)=Cn-1通りの方法に対応している単純多面体

頂点数1/n(2n-2,n-1)=Cn-1

n=4のとき、5角形

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【３】置換結合多面体KΠn-1

　ｎ個の文字列の置換の括弧づけに対応している。括弧のつけかえに対応するかまたは括弧でくくられた隣り合う2文字の入れ替えに対応するかのどちらかである。

n=3のとき、12角形

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