■オイラーの多面体定理とデーン・サマーヴィル関係式(その45)

【4】複素超越表現

 初項1,第2項1から始まるフィボナッチ数列

  1,1,2,3,5,8,・・・

の場合は,

  Fn=1/√5[{(1+√5)/2}^n−{(1−√5)/2}^n]

であるから,x^n−1に対応していて

  Fn=Π(k=1~[n/2]){1+4cos^2(kπ/n)}

となる.

 複素超越表現すれば,

  Fn=i^(n-1)sin(nz)/sinz,

  z=π/2+iln{(1+√5)/2}

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√5Fn=[g^n−{-1/g}^n]

t=ilngとおくことによって

√5Fn=2i^n-1sin[π/2+t]n

sin[π/2+ilng]=√5/2

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