【２】フィボナッチ数列の三角関数表現

　　φ＝（１＋√５）／２，−１／φ＝（１−√５）／２

とおくと，

　　Ｆn＝１／√５［φ^n+1−（−１／φ）^n+1］

となる．

また，

　　ｔ＝√５／２，φ＝１／２＋ｔ＝ａ，−１／φ＝１／２−ｔ＝ｂ

とおくと，

　　ａ^2−２ｐkａｂ＋ｂ^2

　＝（１／２＋ｔ）^2−２ｐk（１／２＋ｔ）（１／２−ｔ）＋（１／２−ｔ）^2

　＝２｛（２^-2＋ｔ^2）−（２^-2−ｔ^2）ｐk｝

　＝２｛２^-2（１−ｐk）＋ｔ^2（１＋ｐk）｝

　ｐk＝ｃｏｓ（２ｋπ／（ｎ＋１））のとき，半角の公式

　　１−ｐk＝２ｓｉｎ^2（ｋπ／（ｎ＋１））

　　１＋ｐk＝２ｃｏｓ^2（ｋπ／（ｎ＋１））

より

　　ａ^2−２ｐkａｂ＋ｂ^2

　＝ｓｉｎ^2（ｋπ／（ｎ＋１））＋４ｔ^2ｃｏｓ^2（ｋπ／（ｎ＋１））

　＝１＋（４ｔ^2−１）ｃｏｓ^2（ｋπ／（ｎ＋１））

　＝１＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／（ｎ＋１））

　ｎが偶数の場合，

　　（ａ−ｂ）／√５＝１，ｍ＝ｎ／２

ｎが奇数の場合，

　　（ａ−ｂ）（ａ＋ｂ）／√５＝１，ｍ＝（ｎ＋１）／２

となって，いずれの場合も

　　Ｆn＝Π(k=1~[(n+1)/2])｛１＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／（ｎ＋１））｝

で表されるというわけである．

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