■オイラーの多面体定理とデーン・サマーヴィル関係式(その38)

【9】整数の二項係数分割

一般にn,kに対して,ak>ak-1>・・・>a2>a1≧0を使って,nを一意に二項展開することができる.一般に,自然数a,iにに対して

  a=(a(i),i)+(a(i−1),i−1)+・・・+(a(j),j)

  a(i)>a(i−1)>・・・>a(j)≧j≧1

が唯一存在することが知られている.

  n=(ak,k)+(ak-1,k−1)+・・・+(a2,2)+(a1,1)

 いわゆる「nの分割」であるが,この展開の存在性と一意性は簡単に確認できて,akを最初に選び,次にak-1,・・・と順に決めていけばよい.

 たとえば,k=3,n=7とすると

  7=(4,3)+(3,2)+(0,1)

  ただし(0,1)=0と定義する.

k=3,n=10とすると

  10=(4,2)+(3,1)+(0,0)

  ただし(0,0)=1と定義する.

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