【９】整数の二項係数分割

一般にｎ，ｋに対して，ａk＞ａk-1＞・・・＞ａ2＞ａ1≧０を使って，ｎを一意に二項展開することができる．一般に，自然数ａ，ｉにに対して

　　ａ＝（ａ（ｉ），ｉ）＋（ａ（ｉ−１），ｉ−１）＋・・・＋（ａ（ｊ），ｊ）

　　ａ（ｉ）＞ａ（ｉ−１）＞・・・＞ａ（ｊ）≧ｊ≧１

が唯一存在することが知られている．

　　ｎ＝（ａk，ｋ）＋（ａk-1，ｋ−１）＋・・・＋（ａ2，２）＋（ａ1，１）

　いわゆる「ｎの分割」であるが，この展開の存在性と一意性は簡単に確認できて，ａkを最初に選び，次にａk-1，・・・と順に決めていけばよい．

　たとえば，ｋ＝３，ｎ＝７とすると

　　７＝（４，３）＋（３，２）＋（０，１）

　　ただし（０，１）＝０と定義する．

ｋ＝３，ｎ＝１０とすると

　　１０＝（４，２）＋（３，１）＋（０，０）

　　ただし（０，０）＝１と定義する．

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