■オイラーの多面体定理とデーン・サマーヴィル関係式(その30)

 fベクトルとhベクトルは,母関数を使えば大変見通しよく説明することができる.

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 多面体Pの母関数を

  F(t)=Σ(0,n)fj-1・t^j

で定義する.f-1=1

 このとき,

  H(t)=(1−t)^nF(t/(1−t))=Σ(0,n)fj-1・t^j(1−t)^(n-j)

はn次の多項式であり,

  H(t)=Σ(0,n)hp・t^p

と書くことができる.

 逆に,

  F(t)=(1+t)^nH(t/(1+t))==Σ(0,n)fj-1・t^j

であり,

  hp=Σ(0,p)(−1)^(p-j)(n−j,n−p)fjー1,0≦p≦n

  fj-1=Σ(0,j)(n−p,n−j)hp,0≦j≦n

となる.

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 したがって,fjを与えることとhpを与えることは同値である.

 n次単体的多面体に対しては,デーン・サマービル関係式

  (−1)^(n-1)fk=Σ(k,n-1)(−1)^j(j+1,k+1)fj

が成り立つことは,

  F(t−1)=(−1)^nF(−t)

  H(t)=t^nH(1/t)

が成立すること,あるいは,

  hp=hn-p

が成り立つことと同値である.

  F(t/(1−t))=H(t)/(1−t)^n=Σ(0,n)fj-1・t^j/(1−t)^j

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h0=1,h1=f1-d,・・・h0+h1+・・・+hd=fd-1

単体的凸多面体に対する

[1]デーン・サマーヴィル関係式はhi=hd-1, i=0-d

[2]上限予想の不等式はhi<=(v-d+i-1,i), i=0-[d/2]

[3]下限予想の不等式はh1<=hi, i=2-(d-1)

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