（Ｑ）正方格子Ｚ^2の格子点３個を選んで正三角形を作ることは可能か？

　この問題は不定方程式

　　ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2＋ｗ^2＝（ｘ−ｚ）^2＋（ｙ−ｗ）^2

を解くことと同じである．

　一般に，どのようなｎに対して正ｎ角形が作れるかについては，正方格子の代わりに正三角形格子ではどうなるか？　立方格子では・・・？　ｍ次元格子では・・・？と発展展開させることができる．さて，答は・・・？

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【１】シェレルの定理

　　ｎ≧５，ｎ≠６のとき，Ｚ^3内の格子正ｎ角形は存在しない（シェレルの定理，１９４６年）

その系として

　　「ｎ≧５，ｎ≠６のとき，Ｚ^2内の格子正ｎ角形は存在しない．」

　証明は驚くほど簡単である．

　　前原濶，桑田孝泰「知っておきたい幾何の定理」共立出版

を参照された．

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【２】格子正三角形の場合

　　「Ｚ^2上で格子正三角形は存在しない」

（証）格子正三角形の頂点を（ａ，ｂ），（０，０），（ｃ，ｄ）としても一般性は失われない．

　　［ｃ］＝［ｃｏｓπ／６，−ｓｉｎπ／６］［ａ］

　　［ｄ］　［ｓｉｎπ／６，　ｃｏｓπ／６］［ｂ］

　ｃｏｓπ／６＝１／２，ｓｉｎπ／６＝√３／２．（ａ，ｂ）は整数より，（ｃ，ｄ）のいずれかは無理数となり矛盾．

　　系「Ｚ^2上で格子正六角形は存在しない」

　　系「Ｚ^2で格子正ｎ角形は正方形に限る」

　ところが，

　　　「Ｚ^3上で格子正六角形が存在する」

（証）１辺の長さが２の立方体の６辺の中点を結ぶと格子正六角形が得られる．

　　系「Ｚ^3上で格子正三角形が存在する」

シェレルの定理より

　　系「Ｚ^3上の格子正ｎ角形は正三角形，正方形，正六角形だけである」

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