[定理]平面上の格子ｎ角形で、正多角形となるものはｎ＝４に限る

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[証明]ピックの公式から格子正ｎ角形の面積は有理数である。一方、格子正ｎ角形の外接円の半径をｒとすると、面積は

nr^2/2・sin2π/n

r^2は整数であるからsin2π/nは有理数でなければならない。

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aとcos(aπ)が有理数ならば、cos(aπ)=0,1,1/2,-1,-1/2であることを導く

倍角公式より cos(aπ)が有理数ならばcos(2^maπ)も有理数である。a=q/p（p,qは互いに素）とおくと

cos(2^mqπ/p)+isin(2^mqπ/p)はz^p=1の解であるから、その解はｐ個(有限)である。

ｂが最大のものを選びcos(2^maπ)=c/b（b,cは互いに素）とすると

cos(2^m+1aπ)=(2c^2-b^2)/b^2

bが奇数ならばb=1

bが偶数ならばb=1,2

すなわち、分母は1あるいは2となる。

sin(aπ)=cos(1/2-a)πであるからaとsin(aπ)が有理数ならば、sin(aπ)=0,1,1/2,-1,-1/2である

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sin2π/nが有理数となる整数ｎはｎ＝4，12

ところが格子正12角形は存在しない→ｎ＝４に限る

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