【１】オイラーの三角形分割問題

　オイラーは，凸多角形を対角線によって三角形分割する方法は何通りあるかという問題を問うた．三角形は１通り，四角形は２通りと数えられる．

　五角形の場合は５通り，６角形では１４通り，七角形の場合は４２通り，８角形では１３２通り，・・・．小さい方から並べると

　　１，２，５，１４，４２，１３２，４２９，・・・

　オイラーは研究を深め，これらの数がカタラン数であることをつきとめた．円卓を囲む人たちが手を交差せずに握手できる方法の数は，カタラン数になっているのである．

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【２】オイラー問題の解答

　凸多角形（ｎ＋２角形）に対角線を描いて，それをいくつかの凸多角形に分けるのではなく，対角線を互いに交わらないように引いて三角形分割する問題を考えよう．

［Ｑ］凸ｎ＋２角形に互いに交わらないｎ−１本の対角線を引いて三角形分割する仕方の数ｃ（ｎ）は？

［Ａ］この問題はオイラーが提起した幾何学問題である（オイラーの問題）．４角形では２通り，５角形では５通りあることは数えられても，６角形ではそう簡単にはいかない（６角形に対しては１４通りある）．

　６角形の場合，たとえばある対角線を引いて３角形と５角形，４角形と４角形，５角形と３角形に分割することができるが，そのような分割の仕方を場合分けすることで，積和型の漸化式

　　ｃ（ｎ＋１）＝ｃ（０）ｃ（ｎ）＋ｃ（１）ｃ（ｎ−１）＋・・・＋ｃ（ｎ）ｃ（０）

が得られる．ただし，ｃ（０）＝ｃ（１）＝１とする．

　これはカタラン数の漸化式であって，カタラン数ｃ（ｎ）はｎの増加に応じて急激に増加する．

　　ｃ（０）＝１，ｃ（１）＝１，ｃ（２）＝２，ｃ（３）＝５，

　　ｃ（４）＝１４，ｃ（５）＝４２，ｃ（６）＝１３２，

　　ｃ（７）＝４２９，ｃ（８）＝１４３０，ｃ（９）＝４８６２，・・・

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凸ｎ+2角形にｎ-1本の対角線を引いて三角形に分割する仕方の数をｃ（ｎ）とする。漸化式

　　ｃ（ｎ＋１）＝ｃ（０）ｃ（ｎ）＋ｃ（１）ｃ（ｎ−１）＋・・・＋ｃ（ｎ）ｃ（０）

は凸ｎ＋３角形の頂点を時計回りに1，2，・・・,n,n+1,n+2,n+3とし、１と２を結ぶ辺をeとすると、

eを含む三角形の頂点が1,2,i+3となるものの個数はｃ(i)ｃ(n-i)となることから導かれる

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