次元ｄの格子多面体（格子を頂点とする多面体）のｎ倍ふくらましに属する格子点の個数はｎに関するｄ次の多項式であり、エルハート多項式と呼ばれる。

１９５０年代のエルハートの研究はピックの公式の高次元への華麗なる一般化と解釈できる．

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【１】格子四面体

(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,m)を格子四面体の頂点とすると

ｎ倍ふくらましｎＰに属する格子点の個数は（エルハート多項式）

m/n^3+n^2+(12-m)n/6+1

ｎ倍ふくらましの内部（ｎＰ-∂ｎＰ）に属する格子点の個数は（エルハート相互法則）

m/n^3-n^2+(12-m)n/6-1

となる

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【２】下限定理

次元ｄの格子多面体の内部に属する格子点の個数をc(P),境界に属する格子点の個数をb(P)とすると

Vol(P)＞={(d-1)b(P)+dc(P)-d^2+2}/d!

を満たす

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