［参］ベック，ロビンズ「離散体積計算による組合せ数学入門」シュプリンガー・ジャパン

には立方体，直角三角錐，正軸体（十字多面体），四角錐の離散体積とその母関数も掲載されているので，紹介したい．

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【１】直角三角錐の離散体積とその母関数

　単位直角三角錐をΔで表す．それをｔ倍伸長させた立体がｔΔである．ｔΔの離散体積は

　　Ｌ（ｔ）＝＃（ｔΔ∩Ｚ^n）＝（１／（１−ｚ）^n+1ｚ^t）の定数項

ここで，１／（１−ｚ）^d+1＝Σ（ｎ＋ｋ，ｎ）ｚ^kであるから，

　　Ｌ（ｔ）＝（ｎ＋ｔ，ｎ）

とｎとｔに関して対称な形に書くことができる．

　第１種スターリング数は有限母関数

　　ｘ（ｘ−１）・・・（ｘ−ｎ＋１）＝Σ(m=0,n)Ｓ(n,m)ｘ^m

を通して定義されるが，第１種スターリング数を用いて

　　Ｌ（ｔ）＝１／ｎ！Σ(-1)^n-kＳ(n+1,k+1)ｔ^k＝（ｎ＋ｔ，ｎ）

と書くこともできる．

　また，Ｌ（ｔ）の母関数は

　　１＋ΣＬ（ｔ）ｚ^t＝１／（１−ｚ）^n+1

である．

　４点（０，０，０），（１，０，０），（０，１，０），（０，０，１）を頂点とする三角錐のｎ拡大の格子点の個数は，

　　Ｌn＝（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）／６

となる．

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【２】正軸体の離散体積とその母関数

　正軸体の離散体積は

　　Ｌ（ｔ）＝Σ(k=0,d)（ｎ＋ｋ，ｎ）（ｔ−ｋ＋ｎ，ｎ）

＝Σ(k=0,min(n,t))２^k（ｎ，ｋ）（ｔ，ｋ）

とｎとｔに関して対称な形に書くことができる．

　その母関数は

　　１＋ΣＬ（ｔ）ｚ^t＝（１＋ｚ）^n／（１−ｚ）^n+1

である．

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【３】立方体の離散体積とその母関数

　単位立方体を□で表す．それをｔ倍伸長させた立体がｔ□である．ｔ□の離散体積は

　　Ｌ（ｔ）＝＃（ｔ□∩Ｚ^n）＝（ｔ＋１）^n

と書くことができる．

　また，Ｌ（ｔ）の母関数は，オイラー数を用いて

　　１＋ΣＬ（ｔ）ｚ^t＝１＋Σ（ｔ＋１）^nｚ^t＝ΣＡ(n,k)ｚ^k-1／（１−ｚ）^n+1

と書くこともできる．

　Ａ(n,k)は｛１，２，３，・・・，ｎ｝の置換で，その上昇集合がｋ−１個の要素をもつものの数である．

　　ΣＡ(n,k)＝ｎ！

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【４】四角錐の離散体積とその母関数

　ｎ−１次単位立方体を底面とし，（０，０，，・・・，０，１）を頂点とするｎ次元四角錐を考えると，伸長多面体の離散体積は

　　Ｌ（ｔ）＝Σ(k=0,t+1)ｋ^n-1＝（Ｂn（ｔ＋２）−Ｂn）／ｎ

と書くことができる．ここで，Ｂn（ｘ）はベルヌーイ多項式，Ｂnはベルヌーイ数である．Ｂn＝Ｂn（０）である．

　また，Ｌ（ｔ）の母関数は，オイラー数を用いて

　　１＋ΣＬ（ｔ）ｚ^t＝１＋Σ（ｔ＋１）^nｚ^t＝ΣＡ(n-1,k)ｚ^k-1／（１−ｚ）^n+1

と書くことができる．

　５点（０，０，０），（１，０，０），（０，１，０），（０，０，１），（１，１，０）を頂点とする四角錐のｎ拡大の格子点の個数は，

　　Ｌn＝（ｎ＋１）（ｎ＋２）（２ｎ＋３）／６

となる．

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【５】離散体積から連続体積へ

　母関数

　　（ｈnｚ^n＋ｈn-1ｚ^n-1＋・・・＋ｈ1ｚ＋１）／（１−ｚ）^n+1

に対して，連続体積

　　ｖｏｌＰ＝（ｈn＋ｈn-1＋・・・＋ｈ1＋１）／ｎ！

が成り立つ．

　したがって，直角三角錐では１／ｎ！，正軸体では２^n／ｎ！，立方体では

　　ΣＡ(n-1,k)＝（ｎ−１）！

より１／ｎとなる．

　ｎ＝３の場合，「陽馬」と呼ばれる四角錐は単位立方体の３等分体で，体積１／３というわけである．

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【６】格子多面体の離散体積

　単位立方体のｎ拡大では

　　Ｌn＝（ｎ＋１）^3＝ｎ^3＋３ｎ^2＋３ｎ＋１

　ｎ＝−１では

　　Ｌ-1＝−ｎ^3＋３ｎ^2−３ｎ＋１＝−（ｎ−１）^3

となり，これは内部の格子点の個数は（ｎ−１）^3であることを主張するものである．

　一般に，凸格子多面体Ｐは，Ｌ個の格子点，Ｉ個の内部格子点，Ｂ＝Ｌ−Ｉ個の境界格子点をもち，体積Ｖとする．このとき，Ｐのｎ拡大体の格子点の個数は

　　Ｌn＝Ｖｎ^3＋（（Ｌ−１）／２−１）ｎ^2＋（（Ｌ＋１）／２−Ｖ）ｎ＋１

となる．

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