Ｚ^2上の格子平行四辺形が頂点以外に格子点を含まないならば，その面積は１である．格子三角形が頂点以外に格子点を含まないならば，その面積は１／２である．一般にＺ^2上の格子多角形の面積は有理数である．

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【１】ピックの公式

　ピックの公式（１８９９年）とは，任意の格子多角形の面積が以下の式で表されるというものである．

　　Ａ＝Ｉ＋Ｂ／２−１

　　　Ａ：格子多角形の面積

　　　Ｉ：内部の点の個数

　　　Ｂ：境界線上の点の個数

　すなわち，格子点平面の折れ線で囲まれた面積は（凸であれ凹であれ）格子点の数で表せるという「格子の幾何学」の美しい公式である．ピックは，ミンコフスキーの格子点定理「平面（ｎ次元空間）上の任意の単位格子において，１つの格子点を中心として１辺の長さが２の正方形（面積４の平行四辺形，面積２^nの中心対称な凸体）を任意の向きにおいてみると，内部あるいは境界上にもうひとつの格子点が必ず存在する．」を用いて，彼の興味深い定理を証明した．

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【２】アコーピャン・田上の定理

　Ｚ^2上の格子多角形を４倍に拡大した格子多角形の内部の格子点の個数は必ず奇数である．

（証）Ａは１６倍，Ｂは４倍，したがって，ピックの公式によりＩは奇数となる．

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