整数点を数えれば面積がだいたいわかるというのが離散体積の問題である．今回のコラムで離散体積の問題をいくつかピックアップして紹介したい．

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【１】ピックの公式とリーブの公式

　ピックの公式（１８９９年）とは，任意の格子多角形の面積が以下の式で表されるというものである．

　　Ａ＝Ｉ＋Ｂ／２−１

　　　Ａ：格子多角形の面積

　　　Ｉ：内部の点の個数

　　　Ｂ：境界線上の点の個数

　すなわち，格子点平面の折れ線で囲まれた面積は（凸であれ凹であれ）格子点の数で表せるという「格子の幾何学」の美しい公式である．ピックは，ミンコフスキーの格子点定理「平面（ｎ次元空間）上の任意の単位格子において，１つの格子点を中心として１辺の長さが２の正方形（面積４の平行四辺形，面積２^nの中心対称な凸体）を任意の向きにおいてみると，内部あるいは境界上にもうひとつの格子点が必ず存在する．」を用いて，彼の興味深い定理を証明した．

　ところで，ピックの定理を一般化して，３次元格子上に頂点をもつ多面体の体積公式を作ることができるだろうか？　実は，３次元の任意の格子多面体に対しては内部や境界面上の点の個数から体積を求める式はないことが証明されている（リーブ，１９５７）．

　凸格子点多面体に限ると，すべての凸格子点多面体に対して成り立つ公式は存在するのだが，それでも非常に複雑なものになるという．

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