【２】リーブの公式

　３次元の任意の格子多面体に対しては内部や境界面上の点の個数から体積を求める式はないという例をあげると，４点（０，０，０），（１，０，０），（０，１，０），（１，１，ｚ）を頂点とする三角錐（体積ｚ／６）では，

　　内部の格子点数＝０

　　面上の格子点数＝４

　　辺上の格子点数＝４

を変化させることなしに，ｚとともに体積をいくらでも大きくすることができる．

　しかし，半整数格子Ｌ2を導入すれば体積を求めることができるというのが，リーブの定理である．

　　１２Ｖ（ω）＝２｛Ｌ2（ω）−２Ｌ1（ω）＋χ（ω）｝−｛Ｌ2（∂ω）−２Ｌ1（∂ω）＋χ（∂ω）｝

　凸格子点多面体の場合は，

　　χ（ω）＝−ｃ＝−１，χ（∂ω）＝−（ｖ−ｅ＋ｆ）＝−２

より

　　１２Ｖ（ω）＝２｛Ｌ2（ω）−２Ｌ1（ω）｝−｛Ｌ2（∂ω）−２Ｌ1（∂ω）｝

　当該の三角錐の場合

　　Ｌ1（ω）＝４，Ｌ1（∂ω）＝４

　　Ｌ2（ω）＝２ｚ−１＋１０，Ｌ2（∂ω）＝１０

より

　　Ｖ（ω）＝ｚ／６

　縦ａ，横ｂ，奥行きｃ，体積ａｂｃの直方体の場合は

　　Ｌ1（ω）＝（ａ＋１）（ｂ＋１）（ｃ＋１）

　　Ｌ1（∂ω）＝２（ａ＋１）（ｂ＋１）＋２ｃ（ａ＋１）＋２（ｂ−１）（ｃ−１）

　　Ｌ2（ω）＝（２ａ＋１）（２ｂ＋１）（２ｃ＋１）

　　Ｌ2（∂ω）＝２（２ａ＋１）（２ｂ＋１）＋４ｃ（２ａ＋１）ｃ＋２（２ｂ−１）（２ｃ−１）

より

　　Ｖ（ω）＝ａｂｃ

　なお，ここで，

　　Ｌ2（∂ω）−４Ｌ1（∂ω）＝−６

が成り立っている．

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