【１】格子長方形を考える

　ピックの公式の特別な場合として，単純な図形を考えてみよう．この公式は格子長方形（縦ａ，横ｂ，面積ａｂ）の場合を考えるとわかりやすい．

　　全格子点数＝（ａ＋１）（ｂ＋１）

　　内部の格子点数＝（ａ−１）（ｂ−１）＝Ｉ

　　境界線上の格子点数＝全格子点数−内部の格子点数＝２（ａ＋ｂ）＝Ｂ

したがって，

　　Ｉ＋Ｂ／２−１＝（ａ−１）（ｂ−１）＋（ａ＋ｂ）−１＝ａｂ＝Ａ

となる．

　また，この格子長方形（縦ａ，横ｂ，面積ａｂ）にもう一つの格子長方形（縦ｃ，横ｄ，面積ｃｄ）を辺同士で貼り付けると，１辺は重なり，境界線の上の点の一部は合体し，その両端以外は内部の点に移行するから，公式の形は加法的に保たれる．一般にピックの公式が成り立っている２つの格子多角形について，それをくっつけても公式は成り立つ．

　ピックの公式は長方形に対して成り立つことがわかったが，長方形に対して成り立つならば直角三角形に対して成り立つ→任意の三角形に対して成り立つ→任意の格子多角形に対しても成り立つというわけである．

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