■オイラーの多面体定理とデーン・サマーヴィル関係式(その13)

 hベクトルはfベクトルと等価であるが,単体的多面体に関する問題ではhベクトルの方が便利な点がある.その例として,・・・

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【1】デーン・サマービル関係式

 n次単体的多面体に対しては,デーン・サマービル関係式

  (−1)^(n-1)fk=Σ(k,n-1)(−1)^j(j+1,k+1)fj

が成り立つ.

  −1≦k≦n−1

であるが,k=n−1の場合は自明.k=−1の場合はf-1=fn=1とみなせば,オイラーの関係式になる.

 また,このデーン・サマービル関係式の書き方はいくつかあるが

  Σ(0,k)(−1)^k-j(n−j,n−k)fj-1=Σ(0,n-k)(−1)^n-k-j(n−j,k)fj-1

  fk-1=Σ(k,n)(−1)^n-j(j,k)fj-1

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 単体的d多面体では

  2fd-2=dfd-1

であるが,hベクトルで表現すると

  hk=hd-k

すなわち,hベクトルは左右対称になる.

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