■オイラーの多面体定理とデーン・サマーヴィル関係式(その11)

[1]fベクトルとhベクトル

 d次元多面体のfベクトルは

  (f0,f1,・・・,fd-1)

あるいは,空集合に対応するf-1=1から始めると

  (f-1,f0,f1,・・・,fd-1)

  (f-1,f0,f1,・・・,fd-1,fd),fd=1

となり,オイラー・ポアンカレの公式は

  f0−f1+,・・・+(−1)^d-1fd-1=1+(−1)^d

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  fj-1=Σ(0,j)(r−p,r−j)hp,0≦j<r

  fk-1=Σ(0,k)(d−i,k−i)hi,0≦i<k

=hk+(d−k+1)hk-1+・・・+(d−1,k−1)h1+(d,k)h0

逆にfベクトルからhベクトルを計算することもできる.

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[1]f多項式

  f(x)=fd-1+fd-2x+・・・+f0x^d-1+f-1x^d=Σ(0,d)fi-1x^d-i

[2]h多項式

  h(x)=hd+hd-1x+・・・+h1x^d-1+h0x^d=Σ(0,d)hix^d-i

  fk-1==Σ(0,k)hi(d−i,k−i)

=hk+(d−k+1)hk-1+・・・+(d−1,k−1)h1+(d,k)h0

 h多項式はf多項式の(x+1)^d-iの項に貢献することより,

  f(x)=Σ(0,d)hi(x+1)^d-i=h(x+1)

  h(x)=f(x−1)

 この公式のx^d-kの係数を比較すると,fk-1をhiによって表す公式,hkをfiによって表す公式を得ることができる.

  hk=Σ(0,k)(−1)^k-i(d−i,d−k)fi-1

=fk-1−(d−k+1)fk-2+(d−k+2,2)fk-3−・・・+(−1)^k-1(d−1,k−1)f0+(−1)^k(d,k)

とくに

h0=1,h1=f0−d

hd=fd-1−fd-2+fd-3−・・・+(−1)^d-1f0+(−1)^d

 また,一般の複体について

  h0+h1+・・・+hd=fd-1,f(0)=h(1)

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