【１】デーン・サマービル関係式

　ｎ次単体的多面体に対しては，デーン・サマービル関係式

　　（−１）^(n-1)ｆk＝Σ(k,n-1)（−１）^j（ｊ＋１，ｋ＋１）ｆj

が成り立つ．

　　−１≦ｋ≦ｎ−１

であるが，ｋ＝ｎ−１の場合は自明．ｋ＝−１の場合はｆ-1＝ｆn＝１とみなせば，オイラーの関係式になる．

　また，このデーン・サマービル関係式の書き方はいくつかあるが

　　Σ(0,k)（−１）^k-j（ｎ−ｊ，ｎ−ｋ）ｆj-1＝Σ(0,n-k)（−１）^n-k-j（ｎ−ｊ，ｋ）ｆj-1

　　ｆk-1＝Σ(k,n)（−１）^n-j（ｊ，ｋ）ｆj-1

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　頂点数ｆ0のｎ多面体のｊ面の最大数はいくつか？に対して，頂点数ｆ0のｎ巡回多面体はすべてのｊに対して最大数のｊ面をもつというのが「上限定理」である．巡回多面体は単体的多面体である．

　ｎ次元コンパクト凸多面体（頂点数ｆ0）のｆjに関するモツキンの上限予想とは，多くとも頂点数ｆ0のｎ次元巡回多面体cyclic polytopeのそれであるというものである．＝ｆ0頂点のｎ多面体の中で，もっとも多い面をもつのは巡回多面体である．

　　ｆj≦（頂点数ｆ0のｎ次元巡回多面体cyclic polytopeのｆj）

　この上限予想はマクマレンによって１９７０年に証明され（マクマレンの上限定理），その後，スタンレーによって可換環論的再証明が与えられている．そこでは，ｆベクトルとｈベクトルの関係が母関数を使って大変見通しよく説明することができている．

　ファセット数は

ｎ＝２ｋのとき，ｆn-1＝ｆ0／（ｆ0−ｋ）・（ｆ0−ｋ，ｋ）

ｎ＝２ｋ＋１のとき，ｆn-1＝２（ｆ0−ｋ−１，ｋ）

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