凸多面体(v,e,f)を考える。

オイラーの多面体定理とは

v-e+f=2

が成り立つというものであるが、一般に凸多面体となるための必要十分条件は

v-e+f=2、v＜=2f-4、f＜=2v-4

が成立することである。

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オイラーの多面体定理を高次元の凸多面体(f0,f1,・・・,fd-1)に拡張すると

f0-f1+f2-・・・+(-1)^d-1fd-1=1+(-1)^d-1

dが奇数のとき、2

dが偶数のとき、0

を満たす。

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すべての面が三角形である単体的凸多面体(v,e,f)を考える。

3f=2eが成り立つから

v-e+f=2、e=3v-6、f=2v-4

と表示される。

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すべての面が単体である単体的凸多面体(f0,f1,・・・,fd-1)を考える。

fi=(d+1,i+1)

このとき

Σ(i,d-1)として

Σ(-1)^j(j+1,i+1)fj=(-1)^(d-1)fi

をみたす。ただし、f-1=1とする。

この等式はデーン・サマーヴィル関係式と呼ばれる。

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