ロータリーエンジンの問題は包絡線(envelope)の問題である。

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シェンケ先生からの問題：

[Q]長方形の箱の端点をｘ軸，ｙ軸にのせながら動かしたときの包絡線は？

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私からの問題：

[Q]アステロイドと円を重みづけて混合する。w1(asteroid)+w2(円）

この形は何か

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【１】平行曲線

　中心の軌跡が（ξ（θ），η（θ））でパラメータ表示される半径ｒの円

　　（ｘ−ξ（θ））^2＋（ｙ−η（θ））^2＝ｒ^2

　　ｙ＝η（θ）±｛ｒ^2−（ｘ−ξ（θ））^2｝^(1/2)

の一部がドリルの円弧であるとき，

　　∂ｙ／∂θ＝０　→　（ｘ−ξ（θ））ｄξ／ｄθ＋（ｙ−η（θ））ｄη／ｄθ＝０

　これより，包絡線の方程式は

　　ｘ＝ξ（θ）＋ｒｄη／ｄθ／｛（ｄξ／ｄθ）^2＋（ｄη／ｄθ）^2｝^(1/2)

　　ｙ＝η（θ）−ｒｄξ／ｄθ／｛（ｄη／ｄθ）^2＋（ｄξ／ｄθ）^2｝^(1/2)

および

　　ｘ＝ξ（θ）−ｒｄη／ｄθ／｛（ｄξ／ｄθ）^2＋（ｄη／ｄθ）^2｝^(1/2)

　　ｙ＝η（θ）＋ｒｄξ／ｄθ／｛（ｄη／ｄθ）^2＋（ｄξ／ｄθ）^2｝^(1/2)

とパラメータ表示されます．

　これは中心の軌跡（ξ，η）と直交する方向（法線方向）にｒだけ離れた２点の軌跡です．すなわち，中心の軌跡の平行曲線を描くというわけです．

　例をあげると，楕円：ｘ^2／ａ^2＋ｙ^2／ｂ^2＝１

のパラメータ表示

　　ξ＝ａｃｏｓθ，η＝ｂｓｉｎθ

については

　　ｘ＝ａｃｏｓθ＋ｒｂｃｏｓθ／（ａ^2ｓｉｎ^2θ＋ｂ^2ｃｏｓ^2θ）^(1/2)

　　ｙ＝ｂｓｉｎθ＋ｒａｓｉｎθ／（ａ^2ｓｉｎ^2θ＋ｂ^2ｃｏｓ^2θ）^(1/2)

および

　　ｘ＝ａｃｏｓθ−ｒｂｃｏｓθ／（ａ^2ｓｉｎ^2θ＋ｂ^2ｃｏｓ^2θ）^(1/2)

　　ｙ＝ｂｓｉｎθ−ｒａｓｉｎθ／（ａ^2ｓｉｎ^2θ＋ｂ^2ｃｏｓ^2θ）^(1/2)

のようになります．

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【２】アステロイドの平行曲線

　アステロイド：ｘ^2/3＋ｙ^2/3＝ａ^2/3

のパラメータ表示

　　ξ＝ａｃｏｓ^3θ，η＝ａｓｉｎ^3θ

については

　　ｘ＝ａｃｏｓ^3θ＋ｒｓｉｎθ

　　ｙ＝ａｓｉｎ^3θ＋ｒｃｏｓθ

および

　　ｘ＝ａｃｏｓ^3θ−ｒｓｉｎθ

　　ｙ＝ａｓｉｎ^3θ−ｒｃｏｓθ

のようになります．

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【３】まとめ

[Q]長方形の箱の端点をｘ軸，ｙ軸にのせながら動かしたときの包絡線は？

[Q]アステロイドと円を重みづけて混合する。w1(asteroid)+w2(円）

いずれも同じ答えになるというわけである

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