三角形ＡＢＣの外接円上に点Ｐをとり，点Ｐから３辺（またはその延長）に下ろした垂線の足を点Ｄ，Ｅ，Ｆとする．この３点は同一直線（シムソン線）上にある．シムソン線の包絡線はデルトイドを描く．

　もっと詳細にいうと，シムソン線は９点円を内接円にもつように描かれたデルトイドに接する．

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【１】シムソン線とデルトイド

　シムソン線というのは三角形の外接円上の任意の１点から３辺（またはその延長線）に下ろした垂線の足を結ぶ直線のことで，垂線の足は一直線上に並ぶところが面白いところです．初めてデルトイド（三星形）の研究を行ったのはオイラー（１７４５年）ですが，１９世紀の数学者シュタイナーがシムソン線の包絡線として研究したところから，デルトイドはシュタイナーのハイポサイクロイドとも呼ばれています．

　デルトイドがもつ性質のひとつは外接円さえ同じであれば，三角形の形に関係なく，同じ形のデルトイドが得られるということです．もう一つの性質はデルトイドで両端を仕切ったシムソン線の長さは一定で，その値は転円の半径をｒ（すなわち定円の半径を３ｒ）とすると，４ｒになります．

　三角形の各辺の中点，垂線の足，垂心と各頂点を結ぶ線分の中点の９点は同じ円上にあります（フォイエルバッハの９点円）．三角形の９点円Ｑと同心で，半径がその３倍の定円Ｑ’を導線として，Ｑを通るシムソン線（３本ある）がＱ’と交わる点Ｓにおいて，最初Ｑ’に接していた９点円と同大の円をＱ’の内側をころがすとき，最初Ｓにあった点の描く軌跡がこのデルトイドです．この結果はシュタイナーが初等幾何学的に示しました．

　シムソン線は９点円を内接円にもつように描かれたデルトイドに接するというわけです．

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　△ＡＢＣの各辺の中点，各頂点から対辺に下ろした垂線の足，頂点と垂心との中点の合計９点は同一円周上にあります（９点円）．その中心Ｑは外心と垂心の中点である．（点Ｑを通るシムソン線は３本ある）．

　Ｑを中心として半径が９点円の３倍の円Ｑ’を描き，点Ｑを通るシムソン線３本がＱ’と交わる点をＳとする．３個のＳはＱ’を１２０°ずつ３等分した位置に来る．

　そのひとつをとり，Ｑ’の１／３の半径の円ΓをそこでＱ’に内接させる．円Γ’に沿って内転点させるとデルトイドを描く．

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