【４】代数曲線としての次数

アステロイドの平行曲線

　　ｘ＝３ｓｉｎθ＋ｃｏｓ^3θ

　　ｙ＝−３ｃｏｓθ−ｓｉｎ^3θ

において，ｃｏｓ^3θ，ｓｉｎ^3θはｃｏｓ３θ，ｓｉｎ３θで表されますから，６次曲線となることが予測されます．ここでは，アステロイドの平行曲線の代数曲線としての次数を求めてみます．

　この曲線は直線ｙ＝±ｘに関する裏返しに関して対称ですから，

　　ｆ（ｘ＋ｙ，（ｘ−ｙ）^2）

　　ｆ（ｘ−ｙ，（ｘ＋ｙ）^2）

の多項式の形に表すことができます．また，（ｘ＋ｙ）^2＝ｘ^2＋ｙ^2＋２ｘｙ，（ｘ−ｙ）^2＝ｘ^2＋ｙ^2−２ｘｙとなって，ｘ^2＋ｙ^2，ｘｙの多項式の形

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝Ｆ（ｘ^2＋ｙ^2，ｘｙ）

に表すこともできます．すなわち，

　　Ｄ2：Ｆ（ｘ^2＋ｙ^2，ｘ^2）

のｘ^2（あるいはｙ^2）の代わりがｘｙということになります．

　　Ｄ0：ｘ^2＋ｙ^2＝−３（ｓｉｎθｃｏｓθ）^2＋６ｓｉｎθｃｏｓθ＋１０・・・(1)

　　Ｄ2：−ｘｙ＝（ｓｉｎθｃｏｓθ）^3−６（ｓｉｎθｃｏｓθ）^2＋９ｓｉｎθｃｏｓθ＋３・・・(2)

　　(1)→（ｓｉｎθｃｏｓθ−１）^2＝−（ｘ^2＋ｙ^2−１３）／３

　　(2)→−ｘｙ−３＝ｓｉｎθｃｏｓθ（ｓｉｎθｃｏｓθ−３）^2＝（ｓｉｎθｃｏｓθ−１）^3−３（ｓｉｎθｃｏｓθ−１）^2＋４

Ｄ0はｓｉｎθｃｏｓθ＝ｓｉｎ２θ／２の２次式，Ｄ2は３次式です．

　(2)より

　　−ｘｙ−７＝（ｓｉｎθｃｏｓθ−１）^2（ｓｉｎθｃｏｓθ−１−３）

ですから，(1)を代入すると

　　（ｘ^2＋ｙ^2−１３）^3＋２７（ｘ^2＋ｙ^2＋ｘｙ−６）^2＝０

となって，実際に６次式で表すことができました．

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