藤原・掛谷の二角形やルーローの二角形は，正三角形に内接しながら回転することができる円以外の図形ですが，正三角形の内転形はそればかりではありません．今回のコラムでは，アステロイドの平行曲線が特異点をもたずに正三角形に内接しながら回転することができる図形であることを証明してみることにします．

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【１】平行曲線

　中心の軌跡が（ξ（θ），η（θ））でパラメータ表示される半径ｒの円

　　（ｘ−ξ（θ））^2＋（ｙ−η（θ））^2＝ｒ^2

　　ｙ＝η（θ）±｛ｒ^2−（ｘ−ξ（θ））^2｝^(1/2)

の一部がドリルの円弧であるとき，

　　∂ｙ／∂θ＝０　→　（ｘ−ξ（θ））ｄξ／ｄθ＋（ｙ−η（θ））ｄη／ｄθ＝０

　これより，包絡線の方程式は

　　ｘ＝ξ（θ）＋ｒｄη／ｄθ／｛（ｄξ／ｄθ）^2＋（ｄη／ｄθ）^2｝^(1/2)

　　ｙ＝η（θ）−ｒｄξ／ｄθ／｛（ｄη／ｄθ）^2＋（ｄξ／ｄθ）^2｝^(1/2)

および

　　ｘ＝ξ（θ）−ｒｄη／ｄθ／｛（ｄξ／ｄθ）^2＋（ｄη／ｄθ）^2｝^(1/2)

　　ｙ＝η（θ）＋ｒｄξ／ｄθ／｛（ｄη／ｄθ）^2＋（ｄξ／ｄθ）^2｝^(1/2)

とパラメータ表示されます．

　これは中心の軌跡（ξ，η）と直交する方向（法線方向）にｒだけ離れた２点の軌跡です．すなわち，中心の軌跡の平行曲線を描くというわけです．

　例をあげると，楕円：ｘ^2／ａ^2＋ｙ^2／ｂ^2＝１

のパラメータ表示

　　ξ＝ａｃｏｓθ，η＝ｂｓｉｎθ

については

　　ｘ＝ａｃｏｓθ＋ｒｂｃｏｓθ／（ａ^2ｓｉｎ^2θ＋ｂ^2ｃｏｓ^2θ）^(1/2)

　　ｙ＝ｂｓｉｎθ＋ｒａｓｉｎθ／（ａ^2ｓｉｎ^2θ＋ｂ^2ｃｏｓ^2θ）^(1/2)

および

　　ｘ＝ａｃｏｓθ−ｒｂｃｏｓθ／（ａ^2ｓｉｎ^2θ＋ｂ^2ｃｏｓ^2θ）^(1/2)

　　ｙ＝ｂｓｉｎθ−ｒａｓｉｎθ／（ａ^2ｓｉｎ^2θ＋ｂ^2ｃｏｓ^2θ）^(1/2)

のようになります．

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