■アステロイドの平行曲線（その６）
トロコイドｆ（ｘ，ｙ）＝０が代数曲線Ｆ（ｒ^2，ｒ^nｃｏｓｎφ）＝０になることを示されます．ｒ＝（ｘ^2＋ｙ^2）^1/2はｘ，ｙの多項式ではありませんが，ｒ^2とすれば多項式になります．ｒ^nｃｏｓｎφも同様です．
そこで，ｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2，ｒ^nｃｏｓｎφ＝（ｘ，ｙのｎ次の同次多項式）で，具体的に書くと
Ｄ1：Ｆ（ｘ^2＋ｙ^2，ｘ）
Ｄ2：Ｆ（ｘ^2＋ｙ^2，ｘ^2）
Ｄ3：Ｆ（ｘ^2＋ｙ^2，ｘ（ｘ^2−３ｙ^2））
Ｄ4：Ｆ（ｘ^2＋ｙ^2，ｘ^2ｙ^2）
と表され，代数曲線であることがおわかりいただけるでしょう．
したがって，トロコイド曲線の次数はｒ^2，ｒ^nｃｏｓｎφが何次の形で入っているかによって決定され，Ｄnの対称性をもつトロコイドの場合は最低でもｎ次になることがわかります．実際，ｘ^2＋ｙ^2はｃｏｓθのｎ次式，ｘ，ｘ^2，ｘ（ｘ^2−３ｙ^2），ｘ^2ｙ^2などはｃｏｓθの２ｎ次式となり，トロコイドは最低でも２ｎ次式になるのです．
しかし，出現する項がわかっていたとしても代数曲線の方程式を書き下すことはそれほど簡単なことではありません．対称性だけでなく，曲線固有の性質が次数と関係してくるのですが，次数が高くなるとｃｏｓθを消去する一般的な方法が明らかなものではなくなってしまうからです．
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【１】ハイポサイクロイドの次数
ｎ尖点ハイポサイクロイド
ｘ＝（ｎ−１）ｃｏｓθ＋ｃｏｓ（ｎ−１）θ
ｙ＝（ｎ−１）ｓｉｎθ−ｓｉｎ（ｎ−１）θ
において，
Ｄ0：ｘ^2＋ｙ^2＝２（ｎ−１）ｃｏｓｎθ＋（ｎ−１）^2＋１
とします．Ｄ0はｃｏｓθのｎ次式で表されることになります．
［１］ｎ＝２
ｘ＝２ｃｏｓθ，ｙ＝０
Ｄ0：ｘ^2＋ｙ^2＝２ｃｏｓ２θ＋２＝４ｃｏｓ^2θ
Ｄ2：ｘ^2＝４ｃｏｓ^2θ
よりｃｏｓθを消去すると，ｙ＝０
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［２］ｎ＝３
ｘ＝２ｃｏｓθ＋ｃｏｓ２θ＝２ｃｏｓ^2θ＋２ｃｏｓθ−１
ｙ＝２ｓｉｎθ−ｓｉｎ２θ＝２ｓｉｎθ（１−ｃｏｓθ）
Ｄ0：ｘ^2＋ｙ^2＝４ｃｏｓ３θ＋５＝１６ｃｏｓ^3θ−１２ｃｏｓθ＋５
Ｄ3：ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＝（２ｃｏｓ^2θ＋２ｃｏｓθ−１）｛（２ｃｏｓ^2θ＋２ｃｏｓθ−１）^2−１２（１−ｃｏｓ^2θ）（１−ｃｏｓθ）^2｝
あるいは
ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＝ｘ（−３（ｘ^2＋ｙ^2）＋４ｘ^2）
として，Ｄ3を求めます．
Ｄ0はｃｏｓθの３次式，Ｄ3は６次式となりますから，代数曲線を６次
ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2＋ａ）^2＋ｂｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＋ｃ＝０
と仮定して，未定係数法で係数ａ，ｂ，ｃを求めてみることにします．すると
ｃｏｓθ＝１ → （９＋ａ）^2＋２７ｂ＋ｃ＝０
ｃｏｓθ＝０ → （５＋ａ）^2＋１１ｂ＋ｃ＝０
ｃｏｓθ＝−１ → （１＋ａ）^2−ｂ＋ｃ＝０
より，ａ＝９，ｂ＝−８，ｃ＝−１０８となって
ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2＋９）^2＋８ｘ（３ｙ^2−ｘ^2）−１０８＝０
が得られます．
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［３］ｎ＝４
ｘ＝３ｃｏｓθ＋ｃｏｓ３θ＝４ｃｏｓ^3θ
ｙ＝３ｓｉｎθ−ｓｉｎ３θ＝４ｓｉｎ^3θ
これより直ちにｘ^2/3＋ｙ2/3＝４^2/3は求められるのですが，ここではＤ0，Ｄ4を用いることにします．
Ｄ0：ｘ^2＋ｙ^2＝６ｃｏｓ４θ＋１０＝４８ｃｏｓ^4θ−４８ｃｏｓ^2θ＋１６＝−４８ｃｏｓ^2θｓｉｎ^2θ＋１６
Ｄ4：ｘ^2ｙ^2＝１６^2ｃｏｓ^6θｓｉｎ^6θ
ｃｏｓθを消去すると
（ｘ^2＋ｙ^2−１６）^3＋４３２ｘ^2ｙ^2＝０
デルトイド同様，代数曲線を
ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2＋ａ）^3＋ｂｘ^2ｙ^2＋ｃ＝０
と仮定すると，
ｃｏｓθ＝１ → （１６＋ａ）^3＋ｃ＝０
ｃｏｓθ＝１／√２ → （４＋ａ）^3＋４ｂ＋ｃ＝０
ｃｏｓθ＝１／２ → （７＋ａ）^3＋２７／１６ｂ＋ｃ＝０
より，ａ＝−１６，ｂ＝４３２，ｃ＝０はこの条件を満足させることがわかります．しかし，デルトイドの場合とは異なり，仮定式のように表せる保証はまったくありません．
ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2）^3＋ａ（ｘ^2＋ｙ^2）^2＋ｂ（ｘ^2＋ｙ^2）＋ｃｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＋ｄ＝０
と仮定すべきところでしょう．
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