■直観幾何学研究会2022(その42)
genericな位置にあるn点を考える。n点を結ぶ直線はnC2本ある。
genericな位置にあるn本の直線を考える。平行四辺形など特別な形でない場合である。n本の直線によってnC2本の交点ができる。
これも1種の双対原理であろう。
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4C2=6
5C2=10
6C2=15
7C2=21
8C2=28
9C2=36
10C2=45
阿賀岡芳夫先生(広島大学)の設定された問題は
[1]genericな位置にある4点が始める
[2]すべての点を直線で結ぶ→6本の直線ができる
[3]直線の交点をすべて求める→新たに3個の交点ができる。
[4]すべての点を直線で結ぶ→新たに3本の直線ができる
[5]直線の交点をすべて求める→新たに6個の交点ができる。
[6]すべての点を直線で結ぶ→新たに16本の直線ができる
[7]直線の交点をすべて求める→新たに84個の交点ができる。
[8]すべての点を直線で結ぶ→新たに1716本の直線ができる
[9]直線の交点をすべて求める→新たに719628個の交点ができる。
これを繰り返す。
1点を多くの直線は通り、直線状には多くの点が載る。
共線性・共点性などその従属性は高い。
4,6,3,3,6,16,84,1716,719628,・・・
OEIS調べたところ、その整数列は知られており、4^4^kのオーダーで増加するという。
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無限回繰り返すと、点全体はdenseな集合になる。
最初の4点が有理点である場合、点全体の集合は有理点全体(Q^2)になる。
共線性・共点性は3点が1直線上に並ぶデザルグの定理によって導かれるようだ
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f(x)=x^2+x+1とする
4個の点→6本の直線4C2=6→6本の直線には各々2個の点が載っている.
1本の直線に各々3個の点が載っている7個の点(新たに3個の交点ができる)
1本の直線に各々4個の点が載っている13個の点(新たに6個の交点ができる)
1本の直線に各々5個の点が載っている31個の点(新たに18個の交点ができる)としてみたのだが、一致しないし、オーダーも合わない
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