広島大学附属高等学校の生徒の課題研究の内容を抜粋して紹介したい

直観幾何学研究会2022ではGeogebraを用いた話題が多かったが、この研究でもGeogebraが活用されている。

基点Kと単位円に内接する正ｎ角形を考え、基点から各頂点を線分で結び、正ｎ角形を三角形分割する

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まず最初に基点Kが頂点上にあるときを考える。正ｎ角形はｎ-2個の三角形に分割される。

［１］ｎ→∞のとき、各三角形の重心は中心(1/3,0),半径2/3の円に近づくように円周上に並ぶ

x=(1+cos2kπ/n+cos2(k+1)π/n)/3

y=(sin2kπ/n+sin2(k+1)π/n)/3

f(x,y)(x-1/3)^2+y^2=(2+2cos2π/n)/9

［２］垂心も同一円周上に並び、ｎ→∞のとき、f(x,y)(x-1)^2+y^2=4を描く

このことはオイラー線の性質からも理解される

［３］内心、傍心は同一円周上に並ぶわけではない。

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［４］外心は2次曲線上に並ぶ。このとき焦点の一方は原点である。

［a］基点が円の内にあるとき、楕円．

［b］基点が円の外にあるとき、双曲線

［c］基点が内接円上（辺の中点)にあるとき、放物線．

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外接円の半径をR,内接円の半径をrとすると

K=0→円

0＜ｋ＜ｒ→楕円

K=r→放物線

r＜k＜R→双曲線

k=R→点

K＞R→双曲線

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