【１】リジッド

　正ｎ角形が単位円に内接しているとき，

［１］ひとつの頂点から他のｎ−１個の距離の平方和は２ｎに等しい．

［２］ひとつの頂点から他のｎ−１個の距離の積はｎに等しい．

［３］ひとつの頂点から他のｎ−１個の距離の逆数の平方和は（ｎ^2−１）／１２に等しい．

　また，制約条件付きで

［１］ひとつの頂点から他のｎ−１個の距離の平方和は２ｎに等しい（ｎ＞１）．

［２］ひとつの頂点から他のｎ−１個の距離の４乗和は６ｎに等しい（ｎ＞２）．

［３］ひとつの頂点から他のｎ−１個の距離の６乗和は２０ｎに等しい（ｎ＞３）．

［４］ひとつの頂点から他のｎ−１個の距離の８乗和は７０ｎに等しい（ｎ＞４）．

［５］ひとつの頂点から他のｎ−１個の距離の２ｍ乗和は2mＣmｎに等しい（ｎ＞ｍ）．

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【２】リジッドとフレキシブルの中間

　　Ｓ0：ひとつの頂点から他のｎ−１個の距離の２ｍ乗和

　　Ｓ2：円弧の中点からｎ個の距離の２ｍ乗和

　　Ｓ4：円弧の４等分点からｎ個の距離の２ｍ乗和

　　Ｓ8：円弧の８等分点からｎ個の距離の２ｍ乗和

とする．

　前節はＳ0に関する性質を述べたものであるが，Ｓ2についても

［１］平方和は２ｎに等しい（ｎ＞１）．

［２］４乗和は６ｎに等しい（ｎ＞２）．

［３］６乗和は２０ｎに等しい（ｎ＞３）．

［４］８乗和は７０ｎに等しい（ｎ＞４）．

［５］２ｍ乗和は2mＣmｎに等しい（ｎ＞ｍ）．

で変わらない．

　ところが，Ｓ4（あるいは（Ｓ0＋Ｓ2）／２）については

［１］平方和は２ｎに等しい（ｎ＞１／２）．

［２］４乗和は６ｎに等しい（ｎ＞２／２）．

［３］６乗和は２０ｎに等しい（ｎ＞３／２）．

［４］８乗和は７０ｎに等しい（ｎ＞４／２）．

［５］２ｍ乗和は2mＣmｎに等しい（ｎ＞ｍ／２）．

　Ｓ8（あるいは（Ｓ0＋Ｓ2＋２Ｓ4）／４）については

［１］平方和は２ｎに等しい（ｎ＞１／４）．

［２］４乗和は６ｎに等しい（ｎ＞２／４）．

［３］６乗和は２０ｎに等しい（ｎ＞３／４）．

［４］８乗和は７０ｎに等しい（ｎ＞４／４）．

［５］２ｍ乗和は2mＣmｎに等しい（ｎ＞ｍ／４）．

と制約条件が緩和される．

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【３】フレキシブル

　円弧上の動点からｎ個の頂点までの距離の２ｍ乗和は，定数となって

　　2mＣmｎ　　（ｎ＞ｍ）

に等しいのに対して，２ｍ＋１乗和は定数にならない．

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