■直観幾何学研究会2022(その35)

【1】リジッド

 正n角形が単位円に内接しているとき,

[1]ひとつの頂点から他のn−1個の距離の平方和は2nに等しい.

[2]ひとつの頂点から他のn−1個の距離の積はnに等しい.

[3]ひとつの頂点から他のn−1個の距離の逆数の平方和は(n^2−1)/12に等しい.

 また,制約条件付きで

[1]ひとつの頂点から他のn−1個の距離の平方和は2nに等しい(n>1).

[2]ひとつの頂点から他のn−1個の距離の4乗和は6nに等しい(n>2).

[3]ひとつの頂点から他のn−1個の距離の6乗和は20nに等しい(n>3).

[4]ひとつの頂点から他のn−1個の距離の8乗和は70nに等しい(n>4).

[5]ひとつの頂点から他のn−1個の距離の2m乗和は2mCmnに等しい(n>m).

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【2】リジッドとフレキシブルの中間

  S0:ひとつの頂点から他のn−1個の距離の2m乗和

  S2:円弧の中点からn個の距離の2m乗和

  S4:円弧の4等分点からn個の距離の2m乗和

  S8:円弧の8等分点からn個の距離の2m乗和

とする.

 前節はS0に関する性質を述べたものであるが,S2についても

[1]平方和は2nに等しい(n>1).

[2]4乗和は6nに等しい(n>2).

[3]6乗和は20nに等しい(n>3).

[4]8乗和は70nに等しい(n>4).

[5]2m乗和は2mCmnに等しい(n>m).

で変わらない.

 ところが,S4(あるいは(S0+S2)/2)については

[1]平方和は2nに等しい(n>1/2).

[2]4乗和は6nに等しい(n>2/2).

[3]6乗和は20nに等しい(n>3/2).

[4]8乗和は70nに等しい(n>4/2).

[5]2m乗和は2mCmnに等しい(n>m/2).

 S8(あるいは(S0+S2+2S4)/4)については

[1]平方和は2nに等しい(n>1/4).

[2]4乗和は6nに等しい(n>2/4).

[3]6乗和は20nに等しい(n>3/4).

[4]8乗和は70nに等しい(n>4/4).

[5]2m乗和は2mCmnに等しい(n>m/4).

と制約条件が緩和される.

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【3】フレキシブル

 円弧上の動点からn個の頂点までの距離の2m乗和は,定数となって

  2mCmn  (n>m)

に等しいのに対して,2m+1乗和は定数にならない.

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