単位円に内接する正ｎ角形（Ｐ1，・・・，Ｐn）があるとき，単位円上の動点Ｑに対しても，

　　Σ(1,n)｜ＱＰj｜^2m＝（２ｍ，ｍ）ｎ　　　（ｎ＞ｍ）

となる．

　今回のコラムでは奇数乗和の一般式を導出してみることにする．単位円上の動点に対して，ｎ＞ｍのとき偶数乗和は一定となるが，奇数乗和は，定数にならない．

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【１】指数を大きくすると（奇数次）

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜＝２ｃｏｔ（π／２ｎ）

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^3＝６ｃｏｔ（π／２ｎ）−２ｃｏｔ（３π／２ｎ）

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^5＝２０ｃｏｔ（π／２ｎ）−１０ｃｏｔ（３π／２ｎ）＋２ｃｏｔ（５π／２ｎ）

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^7＝７０ｃｏｔ（π／２ｎ）−４２ｃｏｔ（３π／２ｎ）＋１４ｃｏｔ（５π／２ｎ）−２ｃｏｔ（７π／２ｎ）

　２，６，２０，７０は中央二項係数（２ｍ，ｍ）であり，偶数乗和

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^2m＝（２ｍ，ｍ）ｎ

との類似がみられる．また，奇数乗和ではｎ＞ｍといった必要条件も不要である．

　また，不等式

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^2m-1＜Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^2m＝（２ｍ，ｍ）ｎ

が成り立つ．

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【２】セームール（セイモア？）の定理

　単位円に内接する正ｎ角形（Ｐ1，・・・，Ｐn）があるとき，単位円上の動点Ｑに対しても，

　　Σ(1,n)｜ＱＰj｜^2m＝（２ｍ，ｍ）ｎ　　　（ｎ＞ｍ）

となる．

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