円周上にｎ点が等間隔に配置されているとき，それらを結んでできる幾何学的図形をポアンソの星という（ポアンソは剛体力学の研究で知られるフランスの数学者）．

　正ｎ角形では辺も含めてｎ（ｎ−１）／２本の対角線があるが，ｎが偶数のときは辺も含めてｎ／２個の異なる対角線があり，奇数のときは（ｎ−１）／２個の異なる対角線がある．

［Ｑ］正ｎ角形が半径１の円に内接している．すべての辺（ｎ本）と対角線（ｎ（ｎ−３）／２本），合計ｎ（ｎ−１）／２本の長さの平方和（sum of squares）を求めよ．

［Ａ］ｎが奇数のときも偶数のときもＳＳ＝ｎ^2．ｎのパリティーによって違いを生じない．

　これは，正ｎ角形が半径１の円に内接しているとき，

［定理１］ひとつの頂点からでるすべての辺と対角線の長さの２乗和は頂点数の２倍に等しい．

　　Σ(1,n-1)ｄj^2＝２ｎ

と同値である．

　さらに，

［定理２］ひとつの頂点からでるすべての辺と対角線の長さの積は頂点数ｎに等しい．

　　Π(1,n-1)ｄj＝ｎ

［定理３］対角線の長さの平方の逆数の和公式

　　Σ(1,n-1)１／ｄj^2＝（ｎ^2−１）／１２

が成立する．

　これらを拡張する方向としては，ひとつには次元を大きくすること（単位円→単位球→ｄ次元単位球），もうひとつには指数を大きくすることである（Σ(1,n-1)ｄj^2＝２ｎ→Σ(1,n-1)ｄj^m＝？）．

　結論をいうと定理１は任意の次元で通用するのに対して，定理２，３は２次元の場合のみで成立する．

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