２つの円が同心円のとき

外接円の半径:R

内接円の半径:r

とおくと，正ｎ角形ではR=rsec(π/n)，星形ｎ/ｍ角形ではR=rsec(mπ/n)が成り立つ．同心円でないとき，

外接円と内接円の中心間距離:d

とおく．

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［１］任意の三角形は外心・内心をもつ．2心間の距離について，2次同次式:

R^2-2Rr=d^2

が成り立つ（オイラー, Chapple-Euler）．

オイラーの関係式を導き出すことは見かけより厄介であるが，ポンスレーの定理を使えば簡単に導き出せる．オイラーの関係式を導き出せば，正三角形でない場合，直ちにR ≧ 2rがわかる．

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［２］任意の三角形は外心と内心をもつが，四角形ではそうではない．しかし，双心四角形の場合，4次同次式:

2r^2(R^2+d^2)=(R^2-d^2）^2（フース）

が成り立つ

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［３］双心五角形の基底は

　　d^6-2d^4rR+8d^2r^3R-3d^4R^24d^2r^2R^2+4d^2rR^3+3d^2R^4+4r^2R^4-2rR^5-R^6=0

であり，

n=3: ３次同次式

n=4: 4次同次式

n=5: 6次同次式

n=6: 8次同次式

n=7: 12次同次式

n=8: 16次同次式

となる．

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［４］また，星形ｎ角形では( r→ -r)と置き換える必要があり，星形五角形の基底は,

　　d^6+2d^4rR-8d^2r^3R-3d^4R^2-4d^2r^2R^2-4d^2rR^3+3d^2R^4+4r^2R^4+2rR^5-R^6=0

で与えられる．

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