結局，Ｋ3.3とＫ5を含グラフはどうやっても平面グラフにはならず，失敗に終わる運命にある（クラトウスキーの定理）．

平面グラフに対しては

　　ｅ≦３ｖ−６

が成り立つ．

（証）各面は少なくとも３つの辺をもたなければならないから，

　　２ｅ≧３ｆ

オイラーの公式に代入すると

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝ｖ−ｅ＋２ｅ／３≧２　→　ｅ≦３ｖ−６

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　一方，（その１６）に掲げた証明は

　　２ｅ≧３ｆ

を用いていたものですから，ｅ≦３ｖ−６を用いたものに書き換えてみます．

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【１】完全グラフＫ5の問題

　ｖ＝５，ｅ＝１０．もし，Ｋ5が平面的であるならば，

　　ｅ≦３ｖ−６

であるが，この不等式が成り立たないので，平面グラフではない．

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【２】完全２部グラフＫ3,3の問題

　この問題のグラフ（ｖ＝６，ｅ＝９）に対して，不等式

　　２ｅ≧３ｆ

はもう少し良くなる．各面は少なくとも４つの辺をもたなければならないから，

　　２ｅ≧４ｆ

　オイラーの公式に代入すると

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝ｖ−ｅ＋２ｅ／４≧２　→　ｅ≦２ｖ−４

しかし，ｖ＝６，ｅ＝９に対してこの不等式が成り立たないので，平面グラフではない．

［補］平面性はｅ≦２ｖ−４であるが，２次元の幾何学的安定性はｅ≧２ｖ−３．

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