定理

n次元正単体のn-1次元面(面数:n+1)のn+1個の定点を通る中心断面上の点を結んで、正n+1角形を無数に構成することができる

n次元正単体のn-2次元面(面数:n(n+1)/2)のn+1個の定点を通る中心断面上の点を結んで、最大の正n+1角形を構成することができる

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

定点の構成

暫定的に(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)とおいて、

X=1+2cos(2π/7)

x0=0, x1=1, x2=Xを初期値として

x3=X(x2-x1)+x0=X^2-X・・・トリボナッチ数列で与えられる

x4=X(x3-x2)+x1=X^3-2X^2+1

x5=X(x4-x3)+x2=X^4-3X^3+X^2+2X

x6=0, x7=0とするのはn-2次元面上に構成するためである

Σxi=X^4-2X^3+2X+2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

三角関数の倍角公式を用いると

x0=0, x1=1, x2=X

x3=X(x2-x1)+x0=X^2-X・・・トリボナッチ数列

x4=X(x3-x2)+x1=X^3-2X^2+1=X

x5=X(x4-x3)+x2=X^4-3X^3+X^2+2X=1

x6=0, x7=0

Σxi=X^4-2X^3+2X+2=X^2+X+2

と簡約化することができる。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

yi=xi/Σxi・・・スケール変換

Σyi=1

Y1=(y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7)がひとつの定点の座標である。

これを巡回置換すると

Y2=(y2,y3,y4,y5,y6,y7,y1)

Y3=(y3,y4,y5,y6,y7,y1,y2)

Y4=(y4,y5,y6,y7,y1,y2,y3), Y5,Y6,Y7

このとき

(Y1Y4)=X(Y2Y3), X=1+2cos(2??/7)

隣り合う4点は同一平面上にある→正七角形となる。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝