定理

n次元正単体のn-1次元面(面数:n+1)のn+1個の定点を通る中心断面上の点を結んで、正n+1角形を無数に構成することができる

n次元正単体のn-2次元面(面数:n(n+1)/2)のn+1個の定点を通る中心断面上の点を結んで、最大の正n+1角形を構成することができる

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正単体の構成

n次元正単体(頂点数:n+1)をn次元空間内で作ると、一般に座標が無理数になる。そこで

n次元正単体を最も手軽に作るには、全体を1次元上げて、(n+1)次元空間内の単位点(n+1)個から生成される単体をとることである

(1,0,・・・,0,0),(0,1,・・・,0,0),・・・,(0,0,・・・,1,0),(0,0,・・・,0,1)

1辺は√2 中心は(1/(n+1),・・・,1/(n+1))

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定点の構成

n=3のときの4次元座標は辺の中点であるから

(1/2,1/2,0,0)

(0,1/2,1/2,0)

(0,0,1/2,1/2)

(1/2,0,0,1/2)

となる。これらは(1/2,1/2,0,0)の巡回置換になっていることに留意されたい

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計算法は後回しにして、n=4のときの5次元座標も巡回置換

(τ^-1/√5,1/√5,τ^/√5,0,0)

(0,τ^-1/√5,1/√5,τ^-1/√5,0)

(0,0,τ^-1/√5,1/√5,τ^-1/√5)

(τ^-1/√5,0,0,τ^-1/√5,1/√5)

(1/√5,τ^-1/√5,0,0,τ^-1/√5)

で与えられる

(1/√5,τ^-1/√5,0,0,τ^-1/√5)は τ:2内分点　

{2(0,1/2,0,0,1/2)+??(1,0,0,0,0)}/(τ+2)

となっている。

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n=5のときの6次元座標も同様、巡回置換

(1/6,1/3,1/3,1/6,0,0)

(0,1/6,1/3,1/3,1/6,0)

(0,0,1/6,1/3,1/3,1/6)

(1/6,0,0,1/6,1/3,1/3)

(1/3,1/6,0,0,1/6,1/3)

(1/3,1/3,1/6,0,0,1/6)

で与えられる

(1/3,1/3,1/6,0,0,1/6)は、2:1内分点　

(1/3,1/3,1/6,0,0,1/6){(0,0,1/2,0,0,1/2)+2(1/2,1/2,0,0,0)}/3

であるが、定点は、投影図上対角線の交点と一致する

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