■正多面体の正多角形断面(その258)

 sinπ/5を求めよという問題は,正五角形との関係でよく取り扱われる有名なものである.

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  θ=π/5,5θ=πより,

  cos(2θ+3θ)=−1

  cos(3θ)=cos(π−2θ)=−cos(2θ)

  4cos^3θ−3cosθ=2cos^2θ−1

  4x3−2x^2−3x+1=0→T3(x)=-T2(x)と同値

  (x−1)(4x^2+2x−1)=0

  x=1,(1±√5)/4のなかで,題意に合うものは

  cosθ=(1+√5)/4

  sinθ=(10−2√5)^1/2/4

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チェビシェフ多項式でいえば

Tn(x)=cosnθ=0, x=cosθ

θ=(2k-1)π/2nはTn(x)=0を満足させる。n=2.5の場合に相当する式が

なのであるが、これはT3(x)=-T2(x)から生じたものである。

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