【１】正九角形

　正９角形はｘ＝ｃｏｓ（π／９）とおくと，３倍角の公式

　　４ｘ^3−３ｘ＝ｃｏｓ（π／３）＝１／２

より，３次方程式：８ｘ^3 −６ｘ−１＝０に帰着します．あるいは，θ＝π／９，ｃｏｓθ＝ｘとおくと

　　９θ＝π，５θ＝π−４θ

より，

　　ｃｏｓ５θ＝−ｃｏｓ４θあるいはｓｉｎ５θ＝ｓｉｎ４θ

　前者は５次方程式

　　１６ｃｏｓ^5θ−２０ｃｏｓ^3θ＋５ｃｏｓθ＝−８ｃｏｓ^4θ＋８ｃｏｓ^2θ−１

となるが，後者は

　　１６ｓｉｎ^5θ−２０ｓｉｎ^3θ＋５ｓｉｎθ＝８ｓｉｎθｃｏｓ^3θ−４ｓｉｎθｃｏｓθ

　　１６ｓｉｎ^4θ−２０ｓｉｎ^2θ＋５＝８ｃｏｓ^3θ−４ｃｏｓθ

よりｃｏｓθ関する３次方程式に帰着するというわけである．

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チェビシェフ多項式でいえば

Tn(x)=cosnθ=0, x=cosθ

θ=(2k-1)π/2nはTn(x)=0を満足させる。n=4.5の場合に相当する式が

なのであるが、これはT5(x)=-T4(x)から生じたものである。

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