チェビシェフ多項式の応用について

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【２】高次元正多面体

　チェビシェフ多項式は最良近似の問題と深く関連することは述べましたが，こんなところにもチェビシェフ多項式が現れるという例をあげてみましょう．

　シュレーフリ記号（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn-1）で表されるｎ次元正多面体の基本単体を考えます．このとき

　　ｓｉｎ^2φ＝１−ｃｏｓ^2（π／ｐ1）／ｓｉｎ^2φ1

　　ｓｉｎ^2φ1＝１−ｃｏｓ^2（π／ｐ2）／ｓｉｎ^2φ2

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｓｉｎ^2φn-3＝１−ｃｏｓ^2（π／ｐn-2）／ｓｉｎ^2φn-2

　　ｓｉｎ^2φn-2＝１−ｃｏｓ^2（π／ｐn-1）

　これらをまとめて連分数に書き直すと

　　ｓｉｎ^2φ＝１−ｃｏｓ^2（π／ｐ1）｜１−ｃｏｓ^2（π／ｐ2）｜・・・｜１−ｃｏｓ^2（π／ｐn-2）｜１−ｃｏｓ^2（π／ｐn-1）＝Δ（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn-1）／Δ（ｐ2，・・・，ｐn-1）

最後の分数の形にするには漸化式で順次作ることができます．

　ここで，ｃi＝ｃｏｓ（π／ｐi）として，基本行列Ｃ（三重対角行列）

　　　　［０，ｃ1，０，・・・・・］

　　　　［ｃ1，０，ｃ2，・・・・・］

　　Ｃ＝［０，ｃ2，０，・・・・・］

　　　　［・・・・・・・・・・・・］

　　　　［・・・，ｃn-2，０，ｃn-1］

　　　　［・・，・・・，ｃn-1，０］

と固有多項式Ｐn（λ）＝ｄｅｔ｜λＩ−Ｃ｜を作ります．これより，漸化式

　　Ｐn+1（λ）＝λＰn（λ）−ｃn^2Ｐn-1（λ）　　（ｎ≧２）

　　Ｐ1（λ）＝λ，Ｐ2（λ）＝λ^2−ｃ1^2

を得ることができます．

　基本行列の固有値すなわちＰn（λ）＝０の根はすべて実単根で，隣り合う根の間に必ずＰn-1（λ）＝０の根があることが知られています．

　ｐ2＝・・・＝ｐn-1＝３とすると，

　　Ｐn+1（λ）−λＰn（λ）＋（１／４）Ｐn-1（λ）＝０

これに２^n+1を乗じ，２^nＰn（λ）＝Ｑ（λ）とおくと

　　Ｑn+1−λＱn＋（１／４）＋Ｑn-1＝０

となります．λ＝ｃｏｓθとおくと，

　　ｔ＝ｃｏｓθ±ｓｉｎθ＝ｅｘｐ（±ｉθ）

ですから

　　Ｑn＝Ａｃｏｓｎθ＋Ｂｓｉｎｎθ

と書けます．

　ところで，ｃｏｓｎθはｃｏｓθ＝λの多項式として書くことができて，第１種チェビシュフ多項式

　　Ｔ0（ｘ）＝１，Ｔ1（ｘ）＝ｘ，Ｔ2（ｘ）＝２ｘ^2−１，Ｔ3（ｘ）＝４ｘ^3−３ｘ，Ｔ4（ｘ）＝８ｘ^4−８ｘ^2＋１，・・・

また，Ｔn（ｘ）＝０の根はｃｏｓ（ｋπ／２ｎ），ｋ＝１，３，５，・・・，２ｎ−１と表されます．

　ｓｉｎの場合には番号をひとつずらせて，ｓｉｎ（ｎ＋１）θ／ｓｉｎθを考えると，第２種チェビシュフ多項式

　　Ｕ0（ｘ）＝１，Ｕ1（ｘ）＝２ｘ，Ｕ2（ｘ）＝４ｘ^2−１，Ｕ3（ｘ）＝８ｘ^3−４ｘ，Ｕ4（ｘ）＝１６ｘ^4−１２ｘ^2＋１，・・・

また，Ｕn（ｘ）＝０の根はｃｏｓ（ｋπ／（ｎ＋１）），ｋ＝１，２，３，・・・，ｎと表されます．

［１］ｐ1＝４，ｃｏｓ^2（π／ｐ1）＝１／２の場合

　　Ｐn（λ）＝Ｔn（λ）／２^n-1

［２］ｐ1＝３，ｃｏｓ^2（π／ｐ1）＝１／４の場合

　　Ｐn（λ）＝Ｕn（λ）／２^n

　ｐ2＝・・・＝ｐn-1＝３のとき，一般にＰn（λ）はＴn（λ）とＵn（λ）の一次結合として書くことができます．たとえば，

［３］ｐ1＝５の場合，

　　２^nＰn（λ）＝２τＴn（λ）−（τ−１）Ｕn（λ）

　　τ＝（１＋√５）／２

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