■正多面体の正多角形断面(その214)

【2】cos(π/9)

 x=cos(π/9)とおくと,3倍角の公式

  4x^3−3x=cos(π/3)=1/2

より,3次方程式:8x^3 −6x−1=0に帰着します.

 あるいは,θ=π/9,cosθ=xとおくと

  9θ=π,5θ=π−4θ

より,

  cos5θ=−cos4θあるいはsin5θ=sin4θ

 前者は5次方程式

  16cos^5θ−20cos^3θ+5cosθ=−8cos^4θ+8cos^2θ−1

となるが,後者は

  16sin^5θ−20sin^3θ+5sinθ=8sinθcos^3θ−4sinθcosθ

  16sin^4θ−20sin^2θ+5=8cos^3θ−4cosθ

よりcosθ関する3次方程式に帰着するというわけである.

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