チェビシェフ多項式を求めるよりも

nn=n+1

m=(-sin(2kπ/nn)-sin(2π/nn)) /(cos(2kπ/nn)-cos(2π/nn))

n=8のときk=2

n=10のときk=3

n=12のときk=4

n=14のときk=5として

x=-sin(2π/nn)/m+cos(2π/nn)=1/2cos(π/nn)

が成り立つかどうかを調べるのが手っ取り早い。

どうやら計算違いがあって、どれも成り立たないようだ。再検したい。

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ｎを偶数とする

x座標は1/(2cosx)であるから、1→1/τ→・・・→1/2と1/2に近づく。

n=8のとき対角線の交点と一致するだろうか？

nn=9

xi=(cos(2πi/nn),sin(2πi/nn))

x1(cos(2π/9),sin(2π/nn))

x2(cos(4π/9),sin(4π/nn))

x7(cos(4π/9),-sin(4π/nn))

x8(cos(2π/9),-sin(2π/nn))

x1-x7,あるいはx2-x8を考える

y-sin(2π/nn)=(-sin(4π/nn)-sin(2π/nn)) /(cos(4π/9)-cos(2π/9))・(x-cos(2π/9))

y-sin(4π/nn)=(-sin(2π/nn)-sin(4π/nn)) /(cos(2π/9)-cos(4π/9))・(x-cos(4π/9))

m=(-sin(4π/nn)-sin(2π/nn)) /(cos(4π/9)-cos(2π/9))とおくと

m=(-2sin(2π/nn)cos(2π/nn)-sin(2π/nn)) /(2cos^2(2π/9)-cos(2π/9)-1)

m=-sin(2π/nn)/(cos(2π/9)-1)=cot(π/nn）

y-sin(2πi/nn)=m・(x-cos(2π/9))

y-sin(4πi/nn)=-m・(x-cos(4π/9))

交点はｙ座標が0であるから

mx=-sin(2π/nn)+mcos(2π/9)=-2sinαcosα+m(2cos^2α-1）

mx=sin(4πi/nn)+mcos(4π/9)

x=-2sinαcosα/m+(2cos^2α-1）

x=-2sin^2α+(2cos^2α-1）＝2cos2α-1

これが1/2cosα＝1/2Ｙに等しいとすれば

4Ｙ^2-3＝1/2Ｙ

8Y^3-6Y-1＝0

cosπ/9はこの方程式の解になっているはずである。

しかし、これは3倍角の公式（チェビシェフ多項式）であって、9倍角の公式ではない。

よって交点とは一致しない。

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