ｎを偶数とする

x座標は1/(2cosx)であるから、1→1/τ→・・・→1/2と1/2に近づく。

n=8のとき対角線の交点と一致するだろうか？

nn=9

xi=(cos(2πi/nn),sin(2πi/nn))

x1(cos(2π/9),sin(2π/nn))

x2(cos(4π/9),sin(4π/nn))

x7(cos(4π/9),-sin(4π/nn))

x8(cos(2π/9),-sin(2π/nn))

x1-x7,あるいはx2-x8を考える

y-sin(2π/nn)=(-sin(4π/nn)-sin(2π/nn)) /(cos(4π/9)-cos(2π/9))・(x-cos(2π/9))

y-sin(4π/nn)=(-sin(2π/nn)-sin(4π/nn)) /(cos(2π/9)-cos(4π/9))・(x-cos(4π/9))

m=(-sin(4π/nn)-sin(2π/nn)) /(cos(4π/9)-cos(2π/9))とおくと

m=(-2sin(2π/nn)cos(2π/nn)-sin(2π/nn)) /(2cos^2(2π/9)-cos(2π/9)-1)

m=-sin(2π/nn)/(cos(2π/9)-1)=cot(π/nn）

y-sin(2πi/nn)=m・(x-cos(2π/9))

y-sin(4πi/nn)=-m・(x-cos(4π/9))

交点はｙ座標が0であるから

mx=-sin(2π/nn)+mcos(2π/9)=-2sinαcosα+m(2cos^2α-1）

mx=sin(4πi/nn)+mcos(4π/9)

x=-2sinαcosα/m+(2cos^2α-1）

x=-2sin^2α+(2cos^2α-1）＝2cos2α-1

これが1/2cosα＝1/2Ｙに等しいとすれば

4Ｙ^2-3＝1/2Ｙ

8Y^3-6Y-1＝0

cosπ/9はこの方程式の解になっている。

（1/2cosα，0)

偶数次元ではn=8のときに限り対角線の交点と一致する

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n=12のとき対角線の交点と一致するだろうか？

nn=13

xi=(cos(2πi/nn),sin(2πi/nn))

x1(cos(2π/13),sin(2π/nn))

x3(cos(8π/13),sin(8π/nn))

x10(cos(8π/13),-sin(8π/nn))

x12(cos(2π/13),-sin(2π/nn))

x1-x10

y-sin(2π/nn)=(-sin(8π/nn)-sin(2π/nn)) /(cos(8π/nn)-cos(2π/nn))・(x-cos(2π/nn))

m=(-sin(8π/nn)-sin(2π/nn)) /(cos(8π/nn)-cos(2π/nn))とおくと

m=(-8sin(2π/nn)cos^3(2π/nn)-4sin(2π/nn)cos(2π/nn)-sin(2π/nn)) /(8cos^4(2π/nn)-8cos^2(2π/nn)-cos(2π/nn)+1)

y-sin(2πi/nn)=m・(x-cos(2π/nn))

交点はｙ座標が0であるから

x=-sin(2π/nn)/m+cos(2π/nn)

x=-sin(2π/nn)(8cos^4(2π/nn)-8cos^2(2π/nn)-cos(2π/nn)+1)/(-8sin(2π/nn)cos^3(2π/nn)-4sin(2π/nn)cos(2π/nn)-sin(2π/nn))

x=-(8cos^4(2π/nn)-8cos^2(2π/nn)-cos(2π/nn)+1)/(-8cos^3(2π/nn)-4cos(2π/nn)-1)

これが1/2cos(π/nn)に等しいとすれば交点は一致するのであるが、・・・13倍角公式が必要である。

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cos(π/nn)=Yとおくと、

9次式にしかならないようだ.これでは解になりえない

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x=[1/2,1]に含まれる交点数は

n＝9→1→n＝8のときこの交点が対象になる

n＝11→2→n＝10のときこの交点が対象になる

n＝13→3→n＝12のときこの交点が対象になる

n＝15→4→n＝14のときこの交点が対象になる

n＝17→5→n＝16のときこの交点が対象になる

n＝19→6→n＝18のときこの交点が対象になる

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