ｎを偶数とする

x座標は1/(2cosx)であるから、1→1/τ→・・・→1/2と1/2に近づく。

n=8のとき対角線の交点と一致するだろうか？

nn=9

xi=(cos(2πi/nn),sin(2πi/nn))

x1(cos(2π/9),sin(2π/nn))

x2(cos(4π/9),sin(4π/nn))

x7(cos(4π/9),-sin(4π/nn))

x8(cos(2π/9),-sin(2π/nn))

x1-x7,あるいはx2-x8を考える

y-sin(2π/nn)=(-sin(4π/nn)-sin(2π/nn)) /(cos(4π/9)-cos(2π/9))・(x-cos(2π/9))

y-sin(4π/nn)=(-sin(2π/nn)-sin(4π/nn)) /(cos(2π/9)-cos(4π/9))・(x-cos(4π/9))

m=(-sin(4π/nn)-sin(2π/nn)) /(cos(4π/9)-cos(2π/9))とおくと

m=(-2sin(2π/nn)cos(2π/nn)-sin(2π/nn)) /(2cos^2(2π/9)-cos(2π/9)-1)

m=-sin(2π/nn)/(cos(2π/9)-1)=cot(π/nn）

y-sin(2πi/nn)=m・(x-cos(2π/9))

y-sin(4πi/nn)=-m・(x-cos(4π/9))

交点はｙ座標が0であるから

mx=-sin(2π/nn)+mcos(2π/9)=-2sinαcosα+m(2cos^2α-1）

mx=sin(4πi/nn)+mcos(4π/9)

x=-2sinαcosα/m+(2cos^2α-1）

x=-2sin^2α+(2cos^2α-1）＝2cos2α-1

これが1/2cosα＝1/2Ｙに等しいとすれば

4Ｙ^2-3＝1/2Ｙ

8Y^3-6Y-1＝0

cosπ/9はこの方程式の解になっている。

（1/2cosα，0)

偶数次元ではn=8のときに限り対角線の交点と一致する

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n=12のとき対角線の交点と一致するだろうか？

nn=13

xi=(cos(2πi/nn),sin(2πi/nn))

x1(cos(2π/13),sin(2π/nn))

x3(cos(6π/13),sin(6π/nn))

x10(cos(6π/13),-sin(6π/nn))

x12(cos(2π/13),-sin(2π/nn))

x1-x10

y-sin(2π/nn)=(-sin(6π/nn)-sin(2π/nn)) /(cos(6π/nn)-cos(2π/nn))・(x-cos(2π/nn))

m=(-sin(6π/nn)-sin(2π/nn)) /(cos(6π/nn)-cos(2π/nn))とおくと

m=(4sin^3(2π/nn)-4sin(2π/nn)) /(4cos^3(2π/nn)-4cos(2π/nn))

m=(sin^3(2π/nn)-sin(2π/nn)) /(cos^3(2π/nn)-cos(2π/nn))

m=tan(2π/nn)(sin^2(2π/nn)-1) /(cos^2(2π/nn)-1)

m=tan(2π/nn)(sin^2(2π/nn)-1) /(-sin^2(2π/nn))

m=tan(2π/nn)(-1+1/sin^2(2π/nn))

y-sin(2πi/nn)=m・(x-cos(2π/nn))

交点はｙ座標が0であるから

mx=-sin(2π/nn)+mcos(2π/nn)=-sin(2π/nn)+sin(2π/nn)(-1+1/sin^2(2π/nn))

mx=-2sin(2π/nn)+1/sin(2π/nn)=(1-2sin^2(2π/nn))/sin(2π/nn))

mx=cos(4π/nn)/sin(2π/nn))

x=cos(4π/nn)/msin(2π/nn))=cos(4π/nn))/sin(2π/nn)・cot(2π/nn)(cos^2(2π/nn)-1) /(sin^2(2π/nn)-1)

x=cos(4π/nn)/sin^2(2π/nn)・cos(2π/nn) (cos^2(2π/nn)-1)/(-cos^2(2π/nn))

x=cos(4π/nn)/sin^2(2π/nn)・cos(2π/nn) (-sin^2(2π/nn))/(-cos^2(2π/nn))

x=-cos(4π/nn)/(cos(2π/nn))

これが1/2cos(π/nn)に等しいとすれば交点は一致するのであるが、・・・13倍角公式が必要である。

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cos(π/nn)=Yとおくと、

(8Y^4-8Y^2+1)/{(2Y^2-1)}=1/2Y

2Y(8Y^4-8Y^2+1)={(2Y^2-1)}

5次式にしかならないようだ.これでは解になりえない

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