4sinxsin2xTncos2(n-1)α={-cos3x+cos(2n-3)x+cos(2n-1)x-cos(4n-1)x}

4sinxsin2xTnsin2(n-1)α={sin3x+sin(2n-3)x+sin(2n-1)x-sin(4n-1)x}

4sinxsin2xΣTncos2(n-1)α={-Σcos3x+Σcos(2n-3)x+Σcos(2n-1)x-Σcos(4n-1)x}

4sinxsin2xΣTnsin2(n-1)α={Σsin3x+Σsin(2n-3)x+Σsin(2n-1)x-Σsin(4n-1)x}

{-Σcos3x+Σcos(2n-3)x+Σcos(2n-1)x-Σcos(4n-1)x}^2+{Σsin3x+Σsin(2n-3)x+Σsin(2n-1)x-Σsin(4n-1)x}^2

d^2={(ΣTncos2(n-1)α)^2+(ΣTnsin2(n-1)α)}^2/(ΣTn)^2

d^2={(4sinxsin2xΣTncos2(n-1)α)^2+(4sinxsin2xΣTnsin2(n-1)α)}^2/(4sinxsin2xΣTn)^2

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4sinαsin2αΣTn・sinα=Σsinrxsin(r+1)x={(N)sin2x-sin2Nx}=(n+1)sin2α

4sinαsin2αΣTncos2(n-1)α・sinα=-(n+1)cos3xsinx

4sinαsin2αΣTnsin2(n-1)α・sinα=(n+1)sins3xsinx

XX=-cos3xsinx/sin2x

YY=sin3xsinx/sin2x

XX^2+YY^2=(sinx/sin2x)^2=1/(2cosx)^2

d^2→1/2

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検算してみたい。

n=2のとき、cosx=1/2→ d^2=1/4・4=1

n=3のとき、cosx=√2/2→ d^2=1/4・2=1/2

n=4のとき、cosx=τ/2→ d^2=1/4・4/τ^2=1/τ^2

n=5のとき、cosx=√3/2→ d^2=1/4・4/3＝1/3

すべて一致した。

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α=π/(n+1)として

n=5のとき、-2α回転

n=7のとき、-4α回転

n=9のとき、-6α回転

奇数次元ｎのとき、(n-3)α回転させることを考える。

cos{(n-3)・π/(n+1)}=cos{{{(n+1)-4}・π/(n+1)}=cos(π-4α)=-cos4α

sin{(n-3)・π/(n+1)}=sin{{{(n+1)-4}・π/(n+1)}=sin(π-4α)=sin4α

-XX・cos4α+YY・sin4α＝cos3xsinxcos4x/sin2x+sin3xsinxsin4x/sin2x=sinx/sin2x・cos(x)＝1/2・・・ｘ座標一定

-XX・sin4α-YY・cos4α=cos3xsinxssin4x/sin2x-sin3xsinxcos4x/sin2x=sinx/sin2x・sin(x)=1/2・tanx<1/2

よって、図形的証明に合致している

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ｎを偶数とする

x座標は1/(2cosx)であるから、1→1/τ→・・・→1/2と1/2に近づく。

n=8のとき対角線の交点と一致するだろうか？

nn=9

xi=(cos(2πi/nn),sin(2πi/nn))

x1(cos(2π/9),sin(2π/nn))

x2(cos(4π/9),sin(4π/nn))

x7(cos(4π/9),-sin(4π/nn))

x8(cos(2π/9),-sin(2π/nn))

x1-x7,あるいはx2-x8を考える

y-sin(2π/nn)=(-sin(4π/nn)-sin(2π/nn)) /(cos(4π/9)-cos(2π/9))・(x-cos(2π/9))

y-sin(4π/nn)=(-sin(2π/nn)-sin(4π/nn)) /(cos(2π/9)-cos(4π/9))・(x-cos(4π/9))

m=(-sin(4π/nn)-sin(2π/nn)) /(cos(4π/9)-cos(2π/9))とおくと

m=(-2sin(2π/nn)cos(2π/nn)-sin(2π/nn)) /(2cos^2(2π/9)-cos(2π/9)-1)

m=-sin(2π/nn)/(cos(2π/9)-1)=cot(π/nn）

y-sin(2πi/nn)=m・(x-cos(2π/9))

y-sin(4πi/nn)=-m・(x-cos(4π/9))

交点はｙ座標が0であるから

mx=-sin(2π/nn)+mcos(2π/9)=-2sinαcosα+m(2cos^2α-1）

mx=sin(4πi/nn)+mcos(4π/9)

x=-2sinαcosα/m+(2cos^2α-1）

x=-2sin^2α+(2cos^2α-1）＝2cos2α-1

これが1/2cosα＝1/2Ｙに等しいとすれば

4Ｙ^2-3＝1/2Ｙ

8Y^3-6Y-1＝0

cosπ/9はこの方程式の解になっているはずである。

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【２】ｃｏｓ（π／９）

　ｘ＝ｃｏｓ（π／９）とおくと，３倍角の公式

　　４ｘ^3−３ｘ＝ｃｏｓ（π／３）＝１／２

より，３次方程式：８ｘ^3 −６ｘ−１＝０に帰着します．

　あるいは，θ＝π／９，ｃｏｓθ＝ｘとおくと

　　９θ＝π，５θ＝π−４θ

より，

　　ｃｏｓ５θ＝−ｃｏｓ４θあるいはｓｉｎ５θ＝ｓｉｎ４θ

　前者は５次方程式

　　１６ｃｏｓ^5θ−２０ｃｏｓ^3θ＋５ｃｏｓθ＝−８ｃｏｓ^4θ＋８ｃｏｓ^2θ−１

となるが，後者は

　　１６ｓｉｎ^5θ−２０ｓｉｎ^3θ＋５ｓｉｎθ＝８ｓｉｎθｃｏｓ^3θ−４ｓｉｎθｃｏｓθ

　　１６ｓｉｎ^4θ−２０ｓｉｎ^2θ＋５＝８ｃｏｓ^3θ−４ｃｏｓθ

よりｃｏｓθ関する３次方程式に帰着するというわけである．

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したがって、交点に一致することが分かった。

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