■正多面体の正多角形断面(その196)

4sinxsin2xTncos2(n-1)α={-cos3x+cos(2n-3)x+cos(2n-1)x-cos(4n-1)x}

4sinxsin2xTnsin2(n-1)α={sin3x+sin(2n-3)x+sin(2n-1)x-sin(4n-1)x}

4sinxsin2xΣTncos2(n-1)α={-Σcos3x+Σcos(2n-3)x+Σcos(2n-1)x-Σcos(4n-1)x}

4sinxsin2xΣTnsin2(n-1)α={Σsin3x+Σsin(2n-3)x+Σsin(2n-1)x-Σsin(4n-1)x}

{-Σcos3x+Σcos(2n-3)x+Σcos(2n-1)x-Σcos(4n-1)x}^2+{Σsin3x+Σsin(2n-3)x+Σsin(2n-1)x-Σsin(4n-1)x}^2

d^2={(ΣTncos2(n-1)α)^2+(ΣTnsin2(n-1)α)}^2/(ΣTn)^2

d^2={(4sinxsin2xΣTncos2(n-1)α)^2+(4sinxsin2xΣTnsin2(n-1)α)}^2/(4sinxsin2xΣTn)^2

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4sinαsin2αΣTn・sinα=Σsinrxsin(r+1)x={(N)sin2x-sin2Nx}=(n+1)sin2α

4sinαsin2αΣTncos2(n-1)α・sinα=-(n+1)cos3xsinx

4sinαsin2αΣTnsin2(n-1)α・sinα=(n+1)sins3xsinx

XX=-cos3xsinx/sin2x

YY=sin3xsinx/sin2x

XX^2+YY^2=(sinx/sin2x)^2=1/(2cosx)^2

d^2→1/2

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検算してみたい。

n=2のとき、cosx=1/2→ d^2=1/4・4=1

n=3のとき、cosx=√2/2→ d^2=1/4・2=1/2

n=4のとき、cosx=τ/2→ d^2=1/4・4/τ^2=1/τ^2

n=5のとき、cosx=√3/2→ d^2=1/4・4/3=1/3

すべて一致した。

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α=π/(n+1)として

n=5のとき、-2α回転

n=7のとき、-4α回転

n=9のとき、-6α回転

奇数次元nのとき、(n-3)α回転させることを考える。

cos{(n-3)・π/(n+1)}=cos{{{(n+1)-4}・π/(n+1)}=cos(π-4α)=-cos4α

sin{(n-3)・π/(n+1)}=sin{{{(n+1)-4}・π/(n+1)}=sin(π-4α)=sin4α

-XX・cos4α+YY・sin4α=cos3xsinxcos4x/sin2x+sin3xsinxsin4x/sin2x=sinx/sin2x・cos(x)=1/2・・・x座標一定

-XX・sin4α-YY・cos4α=cos3xsinxssin4x/sin2x-sin3xsinxcos4x/sin2x=sinx/sin2x・sin(x)=1/2・tanx<1/2

よって、図形的証明に合致している

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nを偶数とする

x座標は1/(2cosx)であるから、1→1/τ→・・・→1/2と1/2に近づく。

n=8のとき対角線の交点と一致するだろうか?

nn=9

xi=(cos(2πi/nn),sin(2πi/nn))

x1(cos(2π/9),sin(2π/nn))

x2(cos(4π/9),sin(4π/nn))

x7(cos(4π/9),-sin(4π/nn))

x8(cos(2π/9),-sin(2π/nn))

x1-x7,あるいはx2-x8を考える

y-sin(2π/nn)=(-sin(4π/nn)-sin(2π/nn)) /(cos(4π/9)-cos(2π/9))・(x-cos(2π/9))

y-sin(4π/nn)=(-sin(2π/nn)-sin(4π/nn)) /(cos(2π/9)-cos(4π/9))・(x-cos(4π/9))

m=(-sin(4π/nn)-sin(2π/nn)) /(cos(4π/9)-cos(2π/9))とおくと

m=(-2sin(2π/nn)cos(2π/nn)-sin(2π/nn)) /(2cos^2(2π/9)-cos(2π/9)-1)

m=-sin(2π/nn)/(cos(2π/9)-1)=cot(π/nn)

y-sin(2πi/nn)=m・(x-cos(2π/9))

y-sin(4πi/nn)=-m・(x-cos(4π/9))

交点はy座標が0であるから

mx=-sin(2π/nn)+mcos(2π/9)=-2sinαcosα+m(2cos^2α-1)

mx=sin(4πi/nn)+mcos(4π/9)

x=-2sinαcosα/m+(2cos^2α-1)

x=-2sin^2α+(2cos^2α-1)=2cos2α-1

これが1/2cosα=1/2Yに等しいとすれば

4Y^2-3=1/2Y

8Y^3-6Y-1=0

cosπ/9はこの方程式の解になっているはずである。

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【2】cos(π/9)

 x=cos(π/9)とおくと,3倍角の公式

  4x^3−3x=cos(π/3)=1/2

より,3次方程式:8x^3 −6x−1=0に帰着します.

 あるいは,θ=π/9,cosθ=xとおくと

  9θ=π,5θ=π−4θ

より,

  cos5θ=−cos4θあるいはsin5θ=sin4θ

 前者は5次方程式

  16cos^5θ−20cos^3θ+5cosθ=−8cos^4θ+8cos^2θ−1

となるが,後者は

  16sin^5θ−20sin^3θ+5sinθ=8sinθcos^3θ−4sinθcosθ

  16sin^4θ−20sin^2θ+5=8cos^3θ−4cosθ

よりcosθ関する3次方程式に帰着するというわけである.

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したがって、交点に一致することが分かった。

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