ラグビーではトライが決まった後，トライの位置からゴールラインに垂直な直線上にボールをおいて，キックしたボールが２本のゴールポストの間を通過するとボーナスポイントが得られる．

　ゴール下へのトライであればゴールを狙うのは簡単であろうが，タッチライン近くでのトライでは，狙える角度が小さくなって，キックの成功率は低くなる．そこで，狙える角度が最大になる位置にボールをおいてキックしたい（レギオモンタヌスの問題）．

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　２本のゴールポストとボールを置く位置の３点を通る円の円周上であれば，円周角の定理より，狙える角度が一定である．

　したがって，トライの位置からゴールラインに垂直な直線が，この円の接線になる位置にボールをおいてキックすればよいことになる．

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　２本のコールポストを

　　Ａ（０，ｙ＋ｄ）

　　Ｂ（０，ｙ）

ボールを置く位置を

　　Ｃ（ｘ，０）

とする．また原点をＯ（０，０）とする．

　ａ＝∠ＡＣＢを最大にするｘを求めたいのであるが，ｂ＝∠ＡＣＯとおいて，

　　ｔａｎ（ａ＋ｂ）＝（ｙ＋ｄ）／ｘ，ｔａｎ（ｂ）＝ｙ／ｘ

　また，

　　ｔａｎ（ａ＋ｂ）＝（ｔａｎａ＋ｔａｎｂ）／（１−ｔａｎａｔａｎｂ）

より，

ｔａｎａ＝｛ｔａｎ（ａ＋ｂ）−ｔａｎｂ｝／｛ｔａｎｂｔａｎ（ａ＋ｂ）＋１｝

＝｛（ｙ＋ｄ）／ｘ−ｙ／ｘ｝／｛ｙ（ｙ＋ｄ）／ｘ^2＋１｝

＝ｄｘ／｛ｘ^2＋ｙ（ｙ＋ｄ）｝

　ａを最大にすることと，ｔａｎａを最大にすることが同値であるから，

（ｔａｎａ）’＝｛ｄ｛ｘ^2＋ｙ（ｙ＋ｄ）｝−２ｄｘ^2｝／｛ｘ^2＋ｙ（ｙ＋ｄ）｝^2＝０

　　ｙ（ｙ＋ｄ）＝ｘ^2→ｘ＝｛ｙ（ｙ＋ｄ）｝^1/2

　すなわち，ボールの位置ｘはｙと（ｙ＋ｄ）の幾何平均で与えられる．ｙがｄに比べて小さいときはｘ〜ｙということになる．

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　ゴールラインまでのボールの距離をｘ，２本のゴールポストの間隔をｄ，近い方のゴールポストまでの距離をｙとする．

　　ｙ（ｙ＋ｄ）＝ｘ^2→ｘ＝｛ｙ（ｙ＋ｄ）｝^1/2

すなわち，ボールの位置ｘはｙと（ｙ＋ｄ）の幾何平均で与えられる．

　ｙがｄに比べて小さいときはｘ〜ｙということになるが，これでは大雑把すぎる．

　　ｘ＝｛ｙ（ｙ＋ｄ）｝^1/2＝ｙ｛（１＋ｄ／ｙ）｝^1/2

〜ｙ（１＋ｄ／２ｙ）＝ｙ＋ｄ／２

すなわち，ボールの位置ｘは近い方のゴールポストまでの距離に，ゴールポストの間隔の半分を加えた距離で与えられる．ｘ≦ｙでは不利なのである．

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