■あいこの確率（その１１）
［Ｑ］ｎ人でじゃんけんをしたとき，あいこになる確率は？
［Ａ］あいこにならない確率を求めて１からひく．全員の手の出し方は３^n通り．あいこにならないのは全員の手が２種類（たとえばグーとチョキ）で３通りある．全員がグーまたはチョキとなる手の出し方は２^n通りであるが，全員がグーまたは全員がチョキとなる手の出し方の２通りを除外する必要があるから，３（２^n−２）通り．
｛３^n−３（２^n−２）｝／３^n
＝１−（２^n−２）／３^n-1
ｎ＝２のとき，１−２／３＝１／３
ｎ＝３のとき，１−６／９＝１／３
ｎ＝４のとき，１−１４／２７＝１３／２７
[参]清史弘「数学的思考の日常」、現代数学社
ではこの問題を深化させています。・・・ｎ人でじゃんけんをすれば平均何回で終わるか？
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[１]ｎ人がじゃんけんしてｍ人が勝つ確率ｑm
ｑm=nＣm・3・(1/3)^n=nＣm・(1/3)^n-1
[２]あいこになる確率＝誰も勝たない確率
１-ｑ1-ｑ2・・・-ｑn-1=1-(1/3)^n-1・ΣnＣm
＝１−（２^n−２）／３^n-1
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[３]ｎ人でじゃんけんを始めて、勝者が1人に決まるまでのじゃんけんの回数の期待値
まずは2人でじゃんけんをしたとき決着がつくまでの回数の期待値E2を求めると
ｋ-1回あいこが続き、ｋ回目に勝者が決まる確率をｐkとすると
ｎ＝２のとき，あいこになる確率は１−２／３＝１／３であるから
ｐk=(1/3)^k-1・(1-1/3)
E2=Σｋｐk＝(2/3) Σ(1/3)^k-1=(2/3) 1/（1-/3)^2＝3/2
これは2人でじゃんけんすると平均1.5回で決着がつくことを意味している。
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次に3人でじゃんけんをしたとき決着がつくまでの回数の期待値E3であるが、まずは補題から・・・
あいこの確率はｎ＝１０のとき，９４．８％，すなわち，１０人もいればほぼあいこといえるが，１回のじゃんけんだけでただ一人の勝ちが決まる確率だって０ではない．その確率を求めてみよう．
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［Ｑ］ｎ人でじゃんけんをしたとき，１回で勝者が決まる確率は？
［Ａ］全員の手の出し方は３^n通り．１回で勝者が決まるのは全員の手が２種類（たとえばグーとチョキ）で３通り．特定のひとり（自分）がグーを出し，残りのｎ−１人がチョキとなる手の出し方は１通り．ｎ人のうちの誰か一人ががグーを出し，残りのｎ−１人がチョキとなる手の出し方はｎ通り．
したがって，自分ひとりが勝つ確率は３／３^n＝１／３^n-1
誰かひとりが勝つ確率は３ｎ／３^n＝ｎ／３^n-1
ｎ＝２のとき，誰かひとりが勝つ確率は２／３ （ＯＫ）
ｎ＝３のとき，３／９＝１／３
ｎ＝４のとき，４／２７（１４．８％）
ｎ＝５のとき，６．２％
ｎ＝６のとき，２．５％
ｎ＝７のとき，０．９６％
ｎ＝８のとき，０．３７％
ｎ＝９のとき，０．１４％
ｎ＝１０のとき，０．０５％
ｎ→∞のとき，ｎ／３^n-1→０％
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3人でじゃんけんをしたとき
確率1/3で一人の勝者が決まる。
あいこの確率は1/3であるから、確率1/3で二人の勝者が決まる。
このときすでに1回じゃんけんしている
勝者が決まるまでE2回のじゃんけんを行うことが期待される
確率1/3であいこになる。
このときすでに1回じゃんけんしている
勝者が決まるまでE2回のじゃんけんを行うことが期待される
以上により
E3=1/3・1+1/3(1+E2)+1/3(1+E3)
E2=3/2よりE3=9/4
これは3人でじゃんけんすると平均2.25回で決着がつくことを意味している。
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E4は
E4=4/27・1+6/27(1+E2)+4/27(1+E3)+13/27(1+E4)
より、E4=45/14=3.21
E5=5/81・1+10/81(1+E2)+10/81(1+E3)+5/81(1+E4)+51/81(1+E5)
より,E5=157/35=4.49
E6=13497/2170=6.22,E7=225161/26040=8.65
E8=12.10
E9=17.09
E10=24.35
E20=1142.90
E30=64201.24
となるのだそうだ・・・やれやれ
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